Analyse combinatoire: problème de partitionnement

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
sismoben
Messages: 2
Enregistré le: 30 Oct 2015, 22:32

Analyse combinatoire: problème de partitionnement

par sismoben » 30 Oct 2015, 22:44

Bonjour à tous,

Je me suis très récemment inscrit et j'en profite pour vous demander un peu d'aide concernant un problème mathématique qui ne me paraissait pas tellement difficile et qui finalement s'avère me poser quelques difficultés.
En l’occurrence il se résume à un problème de combinatoire, et plus précisément de partition d'un entier.

Soit "n" un entier naturel positif quelconque. J'aimerais obtenir l'ensemble des combinaisons possibles de "m" nombres dont la somme fait "n".

ex1: n=4 ; et m=3:

s1 = 4 - 0 - 0
s2 = 3 - 1 - 0
s3 = 2 - 2 - 0
s4 = 2 - 1 - 1

Donc nous avons S = 4 combinaisons de nombres différentes.
Ensuite un des problèmes est que dans le cas de s2, les 3 nombres sont différents, donc il y a 3!=6 manières d'ordonner s2. Cependant dans le cas de s1,s3 et s4 par exemple 2 nombres se répètent, il n'y a donc que 3 "ordres" possibles. Bref le nombre de solutions ordonnées pour chaque "s" variera en fonction du nombre de répétitions dans cette combinaison.
Bref pour cette exemple, S = 4, et So = Solutions ordonnées = 3+6+3+3 = 15.

ex2: n=21 ; et m=2:
Donc nous avons S = 11 combinaisons de nombres différentes, avec 11*2 = 22 combinaisons ordonnées.

Bref voilà le problème, comment obtenir S et So pour tout n et m? Si cela peut aider à la vérification, la solution pour n=11 et m=5 est So=10626. Je travail à partir d'un article scientifique qui, dans le cadre d'une modélisation numérique, utilise ce "10626", sans qu'il y soit explicité l'algorithme permettant d'y arriver.
Y a-t-il une manière récursive (ou continue) permettant de calculer cela simplement?

Merci de votre aide ^^



Robot

par Robot » 31 Oct 2015, 01:24

Le nombre de -uplets d'entiers naturels dont la somme fait , c'est le problème classique du nombre de façons de ranger chaussettes indistinguables dans tiroirs, et le résultat est le coefficient binomial

Pour et 5, on a , et pas 10626 qui est loufoque.

sismoben
Messages: 2
Enregistré le: 30 Oct 2015, 22:32

par sismoben » 31 Oct 2015, 21:20

Bonjour, merci beaucoup! C'est en effet bien simple vu le temps que j'y ai passé... ^^

C'est en effet une erreur de ma part le 10626, il y avait un paramètre supplémentaire que je n'avais pas pris en compte...!!

La solution est bien 1365, merci encore de ton efficacité!

Sismoben

Robot

par Robot » 01 Nov 2015, 00:50

Avec plaisir.

 

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