Vecteurs

[Champi]

Je rame sur mon devoir maison!
J'ai réussi seulement le 1. a et b!
voilà le sujet:
Désolé pour les vecteurs mais je n'ai pas pu faire de flèches...

Soit ABC un triangle non rectangle et 0 le centre du cercle circonscrit à ABC. Les points A', B' et C' sont les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].
Soit G le centre de gravité de ABC.
1. Soit le point H tel que OH= OA+OB+OC. (les vecteurs)
a. montrer que OB+OC=2OA' (les vecteurs)
b. en déduire AH en fonction de OA' (les vecteurs)
c. Que représente (AH) pour le triangle ABC?

2. Monter que (BH) est perpendiculaire à (AC)

3. Que représente H pour le triangle ABC?

4. a. écrire OH en fonction de OG (les vecteurs)
b. Dans quel cas a t-on O=G=H?
c. Le cas précedent excepté que peut-on en déduire?
La droite obtenue est la droite d'Euler.

5. Le résultat précedent reste t-il valable si le triangle est rectangle?

6. Soit A'', B'' et C'' les symétriques respectifs des points A, B, C par rapport à O.
a. Montrer que A' est le milieu de [A"H].
b. déterminer les symétriques de H par rapport à A', B', C'.
c. Montrer que les symétriques de l'orthocentre d'un triangle par rapport aux milieux des côtés se trouvent souvent sur le cercle circonscrit au triangle.

S'il vous plaît, aidez moi!

[XENSECP]

donne nous tes réponses ;)

[Huppasacee]

Donc tu as trouvé la 1 b, qui est AH en fonction de OA'



en considérant que :

--O est le centre du cercle circonscrit , peux tu alors comparer OB et OC ?

--O appartient il alors à une droite particulière par rapport à BC ?

Alors que peux tu dire de OA' par rapport à BC ?
et donc AH par rapport à BC ?

(AH peut être une ... ou une .... ou... etc)

[Champi]

Merci!
Avec ton explication j'ai réussi à prouver que AH était la hauteur de [BC]. Le reste est venu tout seul et finallement pour la 3. je crois que H est le point de concours des hauteurs du triangle ABC.
Mais pour la 4. je suis toujours bloquée... l'écriture de OH en fonction de OG pose problème et même en passant cette question et en résolvant la suivante, dans quel cas a-ton O=G=H, soit un triangle équilatéral, je ne vois pas trop ce que l'on peut en déduire... :help:

[Huppasacee]

OH= OA+OB+OC

G est le centre de gravité
donc on peut écrire




décompose l'expression donnant OH en passant par G
qu'obtiens tu ?

[Champi]

ah oui!
merci beaucoup!
En fait j'obtiens vecteur OH= 3OG!
Je crois que j'ai réussi à faire la b. j'obtiens un triangle equilatéral...
Mais encore quelques questions: Dans l'énoncé on parle de la droite d'euler, mais je ne vois pas de quelle droite il est question. Tout cce que j'ai pu déduire c'est que les vecteurs OH et OG étaient colinéaires, sauf pour le cas précédent où ils sont alignés. Est-ce que c'est ça? Sinon, je ne vois pas trop comment je peux rédiger... merci d'avance!

[Huppasacee]

La droite d'Euler est la droite reliant les points particuliers d'un triangle
: centre de gravité
centre du cercle circonscrit
orthocentre
on a montré que ces 3 points particuliers sont alignés !

[Champi]

Ah, d'accord, sauf dans le cas du triangle équilatéral, où les points sont confondus! Merci!
Simplement, comment montrer que la droite d'euler est aussi valable pour les triangles rectangles? Je ne pense pas que ce soit prouvable par le calcul vectorielle mais je ne vois pas comment faire pour le démontrer autrement non plus... :(

[Huppasacee]

Ce raisonnement est toujours valable

si, dans l'énoncé , on fixe la condition ABC non rectangle, c'est pour ne pas avoir AH = 0 ou BH = 0 ou CH = 0 , ce qui était un peu embêtant pour certaines égalités et t'aurait bloqué(e)

simple pour un triangle rectangle : ( en A par exemple )

l'orthocentre H est en A

On sait que le centre du cercle circonscrit O est au milieu A' de BC ( tout triangle inscrit dans un demi cercle est rectangle )
et comme le centre de gravité est sur les médianes , G est sur AA' , donc sur
HO
H, G et O sont alignés

[Champi]

Hum.. c'est un raisonnement un peu compliqué pour ma petite tête mais je crois que j'ai compris!
Merci, grâce à toi j'ai pu avancer jusqu'a la 6.
J'ai construit les symétriques des points A, B et C et j'obtiens effectivement A milieu de [A"H], c'est visible sur le dessin mais je ne vois pas comment faire pour le justifier avec mes données.
J'ai quand même avancé et je suis arrivé à la dernière question et là, je n'arrive même pas à comprendre la question!
Aidez moi siouplait!

[Huppasacee]

Je m'absente quelque peu
si je vois que tu es toujours en galère à mon retour , je ne manquerai pas de donner signe de vie !

[Champi]

c'est sympa!
en plus ma prof est sévère avec les devoirs!
pour ma galère, c'est juste le dernier message que j'ai laissé sur la question 6a. et c. (surtout la c., j'ai réussi à la comprendre mais je ne vois pas du tout comment la démontrer...)!

[Huppasacee]

Où bloques tu exactement ?

[Champi]

Pour être précise, je coince pour démontrer que A' est le milieu de [A"H].
Pour ne pas faire d'impasse j'ai passé la question, j'ai réussi la b. mais je bloque carrément pour la question suivante aussi:

Soit D, E, F, les symétriques de H par rapport à A', B', C'.
Montrer que les symétriques de l'orthocentre d'un triangle par rapport aux milieux des côtés se trouvent sur le cercle circonscrit au triangle.

J'ai compris la question mais je n'arrive pas à la résoudre.

[Huppasacee]

Pour prouver que A' est le milieu de HA", essaie de prouver que

HA" = 2HA'

HA" = HO + OA"= HO+AO ( car O est le milieu de AA" )
remplace HO par sa valeur , en ne conservant que du OA, OB et OC



et 2HA' = 2(HO+ OA' )
avec 2OA' = OB + OC
et pareil , on ne conserve que du OA, OB et OC

pour la c

le symétrique de H par rapport à A' se trouve être A", symétrique de A par rapport à O

que peut on dire de A" ?

d'ailleurs , je ne vois pas pourquoi il y a le mot "souvent " !!

[Champi]

ah! ouai d'accord j'ai compris pour la a. je trouve aux deux expressions 2AO + BO + CO, ce qui veut dire que A' milieu de [A"H].
Mais par contre, j'ai beau suivre ton raisonnement je ne vois pas trop ce que l'on peut dire de A" à part que c'est à la fois le symétrique de l'orthocentre par rapport à A' et celui de A par rapport au centre du cercle circonscrit O.
et même si c'est bon je ne vois pas comment à partir de ce résultat démontrer que c'est une généralité et pas une exception pour cette figure?

[Huppasacee]

A-t-on fait une hypothèse sur la forme du triangle ?
non, donc ce n'est pas un cas particulier

alors si nous prenons le symétrique de A par rapport au centre du cercle circonscrit , il est confondu avec le symétrique de l'orthocentre par rapport au milieu de BC

or , considère le symétrique d'un point d'un cercle par rapport au centre du cercle, les 2 points ne sont ils pas les extrémités d'un diamètre ?
donc, A étant sur le cercle circonscrit , son symétrique par rapport au centre dudit cercle lui est diamétralement opposé, donc appartient aussi au cercle !

[Champi]

Je crois que j'ai compris, je vais essayer de rédiger maintenant!
merci beaucoup!