Une question de maths : produit vectoriel d'un rotationnel p

[Sourire_banane]

Salut,

Je suis amené à considérer la quantité avec B le champ magnétique dans le milieu.
En fait, le but est de déduire de la force volumique de Laplace une expression des forces de pression qui s'exercent sur un conducteur (dont la surface est plane).
Finalement j'étais arrivé à et il me fallait montrer que . Je me suis souvenu que dans mon cours de méca flu il y a cette identité . Du coup j'ai presque le résultat, ce qui serait cool si seulement j'arrivais à me débarasser du terme en
En analysant la symétrie du pb, c'est clairement en base cartésienne qu'on va devoir faire les calculs. Donc que suis-je censé faire ? Développer ce terme en remplaçant B par ses coordonnées, puis voir que ça s'annule ?

Un peu d'aide ?

Merci

[Mathusalem]

Y a pas d'autres hypotheses sur B ? A priori je vois pas pourquoi ce terme serait nul.

[Sourire_banane]

Y a pas d'autres hypotheses sur B ? A priori je vois pas pourquoi ce terme serait nul.

Salut Math,

"Une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique se propage dans le vide puis
se réfléchit sur un conducteur ohmique immobile, de surface plane, sous incidence normale."

"Quel terme des équations de Maxwell est négligeable dans le modèle limite du conducteur
parfait ? On se placera dorénavant dans ce cadre."

je pense que c'est les deux informations clef de ce début de ce sujet, rien d'autre !

[Mathusalem]

Est-ce que tu arrives a me donner une equation de l'onde electromagnetique sous les hypotheses de depart ?

Je dis pas que ton raisonnement n'est pas bon, mais est-ce que t'as essaye de regarer du cote du vecteur de poynting pour deduire une pression de radiation ? onde incidente/onde relfechie..

[Sourire_banane]

Est-ce que tu arrives a me donner une equation de l'onde electromagnetique sous les hypotheses de depart ?

Je dis pas que ton raisonnement n'est pas bon, mais est-ce que t'as essaye de regarer du cote du vecteur de poynting pour deduire une pression de radiation ? onde incidente/onde relfechie..

Hmmm... En fait je dois partir de l'expression de la force volumique de Laplace qui s'exerce sur le conducteur en tout point M, pour en déduire cette pression.

Il est donc suggéré de travailler dans le cadre d'un "fluide" à l'équilibre sous des forces dérivant d'une pression. J'ai donc pensé que les forces volumiques de Laplace seraient ces forces, d'où la traduction que j'ai faite du problème : .

Hmmm le vecteur de Poynting, je ne sais pas... A vrai dire jusqu'à cette question l'on n'a évoqué nulle part les expressions de E, de B ni une quelconque base de coordonnées.

(question 7 du sujet : http://www.sujets-de-concours.net/sujets/xens/2013/pc/phys1.pdf que j'avais déjà touché mais que j'avais abandonné faute de temps, et que je reprends désormais).

[Mathusalem]

Ok, je vois.

Dans ton expression pour la force, pourquoi je vois pas la partie rho E?

J imagine que tes parti avec

Fvolumique = - grad P = rhoE + JxB = rho E + (rotB)xB
a des constantes pres.

[Sourire_banane]

Ok, je vois.

Dans ton expression pour la force, pourquoi je vois pas la partie rho E?

J imagine que tes parti avec

Fvolumique = - grad P = rhoE + JxB = rho E + (rotB)xB
a des constantes pres.

Tu appelles rho la conductivité du milieu ?

[Sourire_banane]

Pour faire un petit flashback, j'avais rot(B)=;)_0*j en négligeant j_D=;)_0*;)_0*;)E/;)t face à j, dans le cadre de l'approx du conducteur parfait.
De même, j'ai j=;)E.
Alors F_(vol,Laplace)=F_(vol,L)=dF/d;) avec dF=jxB*d;) ce qui me donne F_(vol,Laplace)=(rot(B)xB)/;)_0

[Mathusalem]

C'est bien ce que j'ai ecrit plus haut, sauf que la force de laplace, en general, c'est F = qE + qvxB.

Ou, de maniere volumique, ou rho designe la densite de charge volumique

F_v = rho E + rhov x B = rho E + J x B = 1/(4pi)(grad.E)E + rot(B)xB

avec les mu_0 a mettre la ou il faut.

[Sourire_banane]

C'est bien ce que j'ai ecrit plus haut, sauf que la force de laplace, en general, c'est F = qE + qvxB.

Ou, de maniere volumique, ou rho designe la densite de charge volumique

F_v = rho E + rhov x B = rho E + J x B = 1/(4pi)(grad.E)E + rot(B)xB

avec les mu_0 a mettre la ou il faut.

Ah super

Merci je te dis ce que ça donne.

[Sourire_banane]

Euh non en fait je vois pas comment me dépétrer du pb...

J'ai (1/;)_0)*[rot(B)xB+;)/(;))rot(B)]=-grad(P)
i.e :
(1/;)_0)[grad(B²/2)-(B.grad)B)-;)/(;))rot(B)]=grad(P)

Et c'est encore plus compliqué.
J'ai songé à appliquer un autre opérateur sur toute l'égalité, mais je ne vois pas quoi qui puisse me soulager un peu.

[Skullkid]

Hello, la densité volumique de charge est nulle parce que le conducteur est parfait. Les charges d'un conducteur parfait sont toujours surfaciques, elles réagissent instantanément et se ruent vers la surface pour annihiler les champs électriques qui chercheraient à s'établir dans le conducteur.

Dans les hypothèses de ton énoncé, tu peux écrire ton champ magnétique B = B(z)x avec l'axe z normal au conducteur (disons z > 0 quand on est dans le conducteur). Du coup la force volumique de Laplace c'est -1/mu0*B*dB/dz*z. Pour calculer la pression (ie force surfacique) tu dois intégrer entre z = 0 et z = epsilon avec epsilon > 0 qui a vocation à tendre vers 0 (epsilon représente l'épaisseur de la surface du conducteur), ce qui te donne une pression p = 1/2mu0*(B(0)^2-B(epsilon)^2)). Puis tu dis que comme ton conducteur est parfait, B(z) = 0 pour tout z > 0 donc B(epsilon) = 0.

[Sourire_banane]

Salut Skullkid,

Hello, la densité volumique de charge est nulle parce que le conducteur est parfait. Les charges d'un conducteur parfait sont toujours surfaciques, elles réagissent instantanément et se ruent vers la surface pour annihiler les champs électriques qui chercheraient à s'établir dans le conducteur.

J'avais jamais pensé à le voir comme ça ! C'est une sorte d'effet inductif donc alors, comme les courants de Foucault qui s'opposent à la chute du bout de métal dans un tube en cuivre ?

Dans les hypothèses de ton énoncé, tu peux écrire ton champ magnétique B = B(z)x avec l'axe z normal au conducteur (disons z > 0 quand on est dans le conducteur). Du coup la force volumique de Laplace c'est -1/mu0*B*dB/dz*z. Pour calculer la pression (ie force surfacique) tu dois intégrer entre z = 0 et z = epsilon avec epsilon > 0 qui a vocation à tendre vers 0 (epsilon représente l'épaisseur de la surface du conducteur), ce qui te donne une pression p = 1/2mu0*(B(0)^2-B(epsilon)^2)). Puis tu dis que comme ton conducteur est parfait, B(z) = 0 pour tout z > 0 donc B(epsilon) = 0.

Du coup on n'avait qu'à passer en coordonnées cartésiennes pour trouver l'expression du rotationnel x B puis intégrer ! Ca m'a juste découragé trop vite...

Merci beaucoup Skullkid

[Skullkid]

En général quand on parle d'effet inductif dans ce contexte on sous-entend que c'est lié à un champ magnétique variable dans le temps, alors qu'ici l'effet est purement électrostatique. Il faut surtout retenir qu'un conducteur parfait ne tolère aucun champ électrique (mathématiquement parlant, la loi d'Ohm te dit que s'il y a un champ électrique E dans un milieu de conductivité s alors tu crées une densite de courant j = s*E, mais pour un conducteur parfait s est infini donc E doit être nul, donc rho doit aussi être nul pour satisfaire les équations de Maxwell).

Après il y a bien une conséquence liée à l'induction : si tu plonges un conducteur parfait dans un champ magnétique qui varie dans le temps, le champ magnétique se fera expulser du conducteur (c'est d'ailleurs ce qui se passe dans ton exercice, l'onde se fait réfléchir parfaitement parce que si le conducteur permettait au champ magnétique variable de rentrer, il devrait aussi accepter le champ électrique induit). Pour résumer,

- Un conducteur parfait expulse tous les champs électriques
- Un conducteur parfait expulse les champs magnétiques variables (mais rolère les champs magnétiques constants)
- Les charges et courants dans un conducteur parfait ne peuvent être que surfaciques.

[Sourire_banane]

En général quand on parle d'effet inductif dans ce contexte on sous-entend que c'est lié à un champ magnétique variable dans le temps, alors qu'ici l'effet est purement électrostatique. Il faut surtout retenir qu'un conducteur parfait ne tolère aucun champ électrique (mathématiquement parlant, la loi d'Ohm te dit que s'il y a un champ électrique E dans un milieu de conductivité s alors tu crées une densite de courant j = s*E, mais pour un conducteur parfait s est infini donc E doit être nul, donc rho doit aussi être nul pour satisfaire les équations de Maxwell).

Après il y a bien une conséquence liée à l'induction : si tu plonges un conducteur parfait dans un champ magnétique qui varie dans le temps, le champ magnétique se fera expulser du conducteur (c'est d'ailleurs ce qui se passe dans ton exercice, l'onde se fait réfléchir parfaitement parce que si le conducteur permettait au champ magnétique variable de rentrer, il devrait aussi accepter le champ électrique induit). Pour résumer,

- Un conducteur parfait expulse tous les champs électriques
- Un conducteur parfait expulse les champs magnétiques variables (mais rolère les champs magnétiques constants)
- Les charges et courants dans un conducteur parfait ne peuvent être que surfaciques.

Merci pour ces renseignements précieux ! :++:

[Sourire_banane]

Salut,

Je suis arrivé à la question 2 de la partie II sur laquelle je bloque. J'ai trouvé un résultat cohérent qui me donne tout de même du fil à retordre pour les trois questions suivantes : suivant la dépendance en 1/r ou en 1/r² pour la force de pression de radiation, le calcul de l'énergie potentielle associée est strictement différent.

J'ai F_(pression_radiation)=P_0*S*(D²/r²), pour trouver une masse surfacique (voir II 3) ne dépendant que de D, de P_0 et de v_0².
Cela se tient car F tend vers 0 en l'infini, diverge en 0 et vaut P_0*S (ce qu'on attendrait) au niveau de la Terre. Par contre, pour l'énergie potentielle, j'obtiens qqchose en 1/r, fonction qui n'admet pas de minimum (je trouvais un puits pour F=P_0*S*(D/r), formule apparemment fausse). Du coup je vois pas trop le rôle que peut jouer le terme en sigma_c/sigma...

[Mathusalem]

Quel raisonnement as-tu fait pour trouver F ? ça doit pas sortir du chapeau, normalement.

Relis attentivement la question. Réfléchis, comment le potentiel de la pression de rayonnement pourrait-il avoir un minimum ? Par quel mécanisme miraculeux est-ce que la pression de rayonnement, au delà d'une certain distance r_min, deviendrait attractive ?

La pression (repulsive du point du vue du soleil) est en competition avec la force d'attraction gravitationnelle (attractive). Tu dois simplement trouver le point où ces forces s'annulent.

[Sourire_banane]

Quel raisonnement as-tu fait pour trouver F ? ça doit pas sortir du chapeau, normalement.

Relis attentivement la question. Réfléchis, comment le potentiel de la pression de rayonnement pourrait-il avoir un minimum ? Par quel mécanisme miraculeux est-ce que la pression de rayonnement, au delà d'une certain distance r_min, deviendrait attractive ?

La pression (repulsive du point du vue du soleil) est en competition avec la force d'attraction gravitationnelle (attractive). Tu dois simplement trouver le point où ces forces s'annulent.

Ah ben pour F j'ai dit qu'il s'agissait d'une pression multipliée par une surface. Maintenant que tu me le dis ça me semble un peu plus clair : A une distance rD par exemple j'obtiens une surface de taille S'=Sr²/D² à la distance r. Dont on déduit à l'inverse que pour une surface S en D, on aura pour r<D une surface S'=(D²/r²)*S
On en déduit que P(r)=(D²/r²)*P_0

Ce qui veut dire que j'avais la bonne intuition ?

[Sourire_banane]

Ok, j'en déduis que c'est bon, je vois pas pourquoi je me suis mis à penser qu'il devait y avoir de minimum (enfin si, j'ai pendant un instant eu l'image du puits de potentiel que doit franchir un électron pour être ionisé, en théorie classique... Pas grand rapport !)

Ok, donc logiquement j'ai F_(P radiation)=P_0*S*(D²/r²)u_r
Puis sigma_c=P_0*D/(v_0)²
Et enfin E_p=(-m*G*(M_s)/r)*(1 - sigma_c/(sigma))

Du coup, si sigma=sigma_c, la dérivée de E_p s'annule conformément à la question 3 non ?

[Mathusalem]

Détaille-voir ton calcul stp