Trigonalisation et question

[Ncdk]

Bonjour,

Je me posais une question, pour les matrices 3x3 la trigonalisation est plutôt rapide grâce au calcul du polynôme caractéristique qui se fait facilement par la règle de Sarrus.
Mais je voulais savoir comment trouver efficacement un polynôme caractéristique pour les matrices 4x4 ?

Je voulais savoir aussi, en présentant un exemple : On a notre polynôme caractéristique scindé, avec par exemple (x-1)²(x-2)² On sait que E1 et E2 sont inclus respectivement dans C1 et C2.
Donc notre base a la fin sera du genre B = { Vect associé à C1, Vect associé à E1, Vect associé à C2, Vect associé à E2}

Pourtant c'est bien le Vect E1 inclus dans le Vect de C1 alors pourquoi dans la base on doit échangé les sens ? J'ai fait cette remarque hier, et je me demande donc pourquoi c'est comme ça :p

Une dernière question, une fois qu'on a notre base, donc on a notre matrice de passage, mais pour trigonaliser notre matrice de base on est obligé de faire pour trouver la forme triangulaire ou on peut faire autre chose juste en partant de la matrice de passage ?

Car dans un exercice, inverser P et ensuite faire peut être long... et sans calculette, pour les matrices 4x4 c'est très fréquent de faire une petite faute.

Voila merci

[zygomatique]

salut

E1 ? E2 ? C1 ? C2 ?

pour le polynome (x - 1)^2(x - 2)^2 on a au moins un vecteur u tel que f(u) = u et au moins un vecteur v tel que f(v) = 2v

si on en a deux indépendants pour chaque valeur propre pourquoi s'embêter avec une matrice de passage puisque la matrice dans la base (u1, u2, v1, v2) de f est la matrice diagonale (1, 1, 2, 2)

...

[Ncdk]

E1 et E2 représente les sous-espaces propres associés aux valeurs propres 1 et 2
et C1 et C2 c'est les sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres 1 et 2?

ça pas de soucis je connais pour la diagonalisation mais je voulais savoir dans les cas où la matrice est seulement trigonalisable, si vous voulez je peux reprendre un exercice de mon cours et donner la résolution puis poser mes questions en fonction de ces résultats ?

[zygomatique]

E1 et E2 représente les sous-espaces propres associés aux valeurs propres 1 et 2
et C1 et C2 c'est les sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres 1 et 2?

ça pas de soucis je connais pour la diagonalisation mais je voulais savoir dans les cas où la matrice est seulement trigonalisable, si vous voulez je peux reprendre un exercice de mon cours et donner la résolution puis poser mes questions en fonction de ces résultats ?

oui ça peut être intéressant et plus concret ...

mais dans tous les cas

si (u_i) est une base alors la matrice (f(u_i)) est écrite dans la base canonique :: elle donne donc les images des u_i par f dans la base canonique ...

il faut donc ensuite encore écrire ces f(u_i) dans la base (u_i) ....


suivant les valeurs de (u_i) il peut être plus pratique de construire la matrice de passage .... mais bon il y a toujours la difficulté de l'inverser ....

mais pour les vecteurs propres il est facile d'écrire l'image des vecteurs propres dans la nouvelle base puisqu'elle est proportionnelle à ces vecteurs ...

[zygomatique]

voir http://www.ilemaths.net/forum-sujet-622124.html

...

[Ncdk]

Je vais donner mon exemple :



Le polynôme caractéristique est :
Donc le spectre est

On peut donc trouver les 2 sous-espaces propres, l'un associé à la valeur propre 0 et l'autre associé à la valeur propre 1 et on obtient :

De même on obtient

On cherche ensuite les sous-espaces caractéristiques associés aux deux valeurs propres 0 et 1 :

et

Maintenant on a notre 4 vecteurs et on obtiens une base tel que :

En gros

Ma question est donc : Pourquoi la base est comme ça et pas par exemple : car c'est bien

Et ensuite comment on peut exprimer la matrice triangulaire sans passer par ?

[zygomatique]

l'ordre des vecteurs dans la base permute simplement les coefficients de la matrice ....

si on veut une matrice trigonale supérieure on les écrit simplement dans un ordre ...

ce qui fait apparaître des sous-matrices 2 * 2 trigonale elles aussi ....

en notant u, v, w, t tes 4 vecteurs calcule f(u), f(v), f(w) et f(t) ....

à priori f(u) = 0 et f(w) = w ce qui donne déjà deux colonnes de ta matrice dans cette base

....

[Ncdk]

En fait si je comprends bien, f(u) c'est

Et ainsi de suite non ?

[zygomatique]

ben oui ....

[Ncdk]

Bah quand je passe au second produit donc

J'obtiens pas un 0 sur la diagonale... vu que j'ai :

[zygomatique]

parce que comme je l'ai dit le résultat que tu obtiens est un vecteur écrit dans la base canonique

et ce vecteur s'écrit (1, 0, 0, 0) dans la nouvelle base puisque c'est u

[Ncdk]

En fait c'est le passage du vecteur de la base canonique à la base B que j'ai du mal à faire. Si tu peux m'expliquer.

En fait, je viens de voir un autre truc, si on a un polynôme caractéristique scindé à racines simples à alors notre matrice est automatiquement diagonalisé. et si pour une matrice 4x4 on a 0,1,2 comme valeur propre, alors pour trigonaliser notre matrice il y aura une seule colonne à trouver, vu qu'il y aura une seule racine de multiplicité 2 non ? Je sais pas si tu vois ce que je veux dire :)

[zygomatique]

prenons le vecteur u = (1, 1, 0, 0) alors f(u) = u

dans la base canonique l'image de u a pour coordonnées (1, 1, 0, 0)

mais dans la base (u, v, w, t) alors u = 1u + 0v + 0w + 0t donc la première colonne de la matrice est (1, 0, 0, 0)

si v = (0, 1, 1, 0) alors d'après ce qui précède f(v) = u donc la deuxième colonne de la matrice est (1, 0, 0, 0) aussi

....

[Ncdk]

prenons le vecteur u = (1, 1, 0, 0) alors f(u) = u

dans la base canonique l'image de u a pour coordonnées (1, 1, 0, 0)

mais dans la base (u, v, w, t) alors u = 1u + 0v + 0w + 0t donc la première colonne de la matrice est (1, 0, 0, 0)

si v = (0, 1, 1, 0) alors d'après ce qui précède f(v) = u donc la deuxième colonne de la matrice est (1, 0, 0, 0) aussi

....

Super merci j'ai compris