Théorème d'AL Kashi

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sourire62
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Théorème d'AL Kashi

par sourire62 » 13 Nov 2008, 21:58

:we: http://img247.imageshack.us/my.php?image=image016go9.jpg Bonjour,
Voici mon problème

Exercice : Le but de cet exercice est de démontrer le théorème d'Al Kashi énoncé ci-dessous :
Théorème (Al Kashi) : Dans un triangle ABC quelconque, on a
a²=b²+c²-2bcCos(BAC)

Ce théorème est une extension du théorème de Pythagore dans le sens où il "marche" même si le triangle n'est pas rectangle.

1) Refaire la figure ci-dessus triplant les longueurs. On obtiendra alors un triangle semblable à celui de l'énoncé. Que peux t'on dire des angles de ces deux triangles ? Noter par a, b et c les longueurs BC,AC et AB.
2) Placer H, pied de la hauteur issue de C et noter par x la longueur AH. Que vaut HB en fonction de x ?
3) Démontrer rigoureusement les égalités suivantes :
a) a²=HC²+x²+b²-2bx
b) x=cCos(BAC)
c) HC = cSin(BAC)
4) En déduire que a²=b²+c²-2bcCos(BAC)
5) Si ABC est un triangle rectangle en A, que devient ce théorème. Justifier.
6) Application : Tracer le triangle DEF vérifiant DE=5cm, EF=7cm et DEF=50°, puis déterminer par le calcul toutes les autres dimensions de ce triangle.

Ce que j'ai fait :

1) Alors, j'ai triplé les longueurs du triangle.
BC= 3.2cm
BCx3=3.2x3=9.6cm
AC=3cm
ACx3=9cm
AB=2.6
ABx3=2.6x3=7.8cm

Les côtés des deux triangles sont proportionnels, alors ces 2 triangles sont semblables.
Si les 2 triangles sont semblables alors les 3 angles sont égaux aux 3 autres angles.

2) HB=AB-x

3) a) je n'ai pas réussi .. >.<
b) x=cCos(BAC)
Dans le triangle ABC
Cos BAC = Cos HAC
Cos HAC = AH/AC = x/c
donc x = cCos HAC
Comme Cos BAC=Cos HAC x=cCos (BAC)

c) HC=cSin(BAC)
Dans lee triangle AHC
Sin BAC= HC/AC = HC/c
donc HC = cSin (BAC)

J'ai fait la 6 directement.

6) Donc j'ai tracé le triangle qu'il demande.

Pour trouver DF
Dans le triangle DEF SinE = DF/DE
Sin 50°=DF/7
DF=Sin50°x7
DF= environ 5.4cm

Pour trouver DFE
Dans le triangle DEF sin DFE = DE/FE

sin DFE =7
Sin DFE= environ 0.714 donc DFE = environ 46°

pour trouver EDF
Dans un triangle la somme des angles est de 180°
donc DEF+EFD+FDE=108°
50+46+FDE=180 donc FED=180-(50+46)
FDE=84°

Pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct, merci

Amicalement
sourire62



aeon
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par aeon » 13 Nov 2008, 22:05

3a. calcule CH de 2 façons...

sourire62
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par sourire62 » 14 Nov 2008, 16:57

CH ?
C'est avec Pythagore :id:

maturin
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par maturin » 14 Nov 2008, 17:21

oui ta hauteur a du faire apparaitre 2 triangle rectangle en H
donc ça doit te permettre de calculer HC en fonction de HB et BC


edit: je modifie ma réponse qui n'était pas correcte suite à des problèmes de notations :)

oscar
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par oscar » 14 Nov 2008, 17:28

Bonjour

En utilisant la propriéte de la puissance d' un point par rapport à un cercle AB² -BC² = AC* AK = AC( AC+CK)

c² - a² = b( b- 2a cos gamma) '( CK >0si gamma obtus et <0 si gamma aigu)

(Wiki)

maturin
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par maturin » 14 Nov 2008, 17:30

par contre il y a une ereur d'enoncé.
Tu dis que "Noter par a, b et c les longueurs BC,AC et AB."
et en 3b) tu dis que AC=c

ton raisonnement est juste et ton résultat Cos HAC = AH/AC est juste.

Il faut effectivement réinterpréter l'énoncé en
Noter par a, c et b les longueurs BC,AC et AB.
Ca permet d'avoir les résultats correspondant aux questions (en fait il faudrait plutot reformuler les questions car les notations usuelles sont a,b,c pour les côtés opposés aux sommets A,B,C mais c'est plus chiant à faire).

maturin
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par maturin » 14 Nov 2008, 17:33

et pour le 4) il suffit de reprendre la formule trouver en 3a et de remplacer x et HC par les résultats de 3b et 3c

il faut aussi savoir que sin²x+cos²x=1

oscar
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par oscar » 14 Nov 2008, 17:51


sourire62
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par sourire62 » 14 Nov 2008, 18:19

Oui, on a eu l'indication que le professeur c'était trompé. :)
C'est bien AB = b et AC = c

3)a) HC est perpendiculaire à AB donc :
BC² = HB² + HC²
a² = (AB - x)² + HC²
a² = b² - 2bx + x² + HC²

sourire62
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par sourire62 » 14 Nov 2008, 18:25

4) En déduire que a²=b²+c²-2bcCos(BAC)

a²=cSin(BAC)+cCos(BAC)+b²-2bcCos (BAC)

J'ai remplacé le HC et le x mais après .. :hum:

Merci beaucoup

maturin
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par maturin » 14 Nov 2008, 19:03

t'as oublié les ² sur les terme que tu as remplacé.
Ca doit faire apparaitre c² (sin²(BAC)+cos²(BAC))
et sin²+cos²=1

oscar
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par oscar » 14 Nov 2008, 19:45

Remarque sur la démo de Wiki"

La puissance de A par rapport au cercle de centre B.
P (A) = AC* AK = AD*AE ou =(AB -DB)*(AB +BE) = (d - R) ( d +R =d² -R²
= AB²-BC² ce sont des longueurs
D est l' intersection du cercle avec AB et E avec le prolongement de AB
( extrémité du diamètre )

cos ^KCB = cos (pi-gama) = CK / 2CB = CK/2a

En fait il fallait tracer le cercle de centre B entierement!

sourire62
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par sourire62 » 14 Nov 2008, 19:53

Pour quelle question ?
J'ai pas appris ça ... :hum:

sourire62
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par sourire62 » 14 Nov 2008, 19:58

4) a²= c²(sin²(BAC)+cos²(BAC)) +b²-2bcCos(BAC)
comme sin²+cos²=1
a²=b²+c²-2bcCos(BAC)

C'est correct ?

maturin
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par maturin » 15 Nov 2008, 03:54

ben tu tombes sur le résultat voulu donc oui c'est correct (et il n'y a pas plusieurs erreurs de calcul s'auto annulant).

sourire62
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par sourire62 » 15 Nov 2008, 15:41

:we: D'accord :)

& pour la 5) c'est le théorème de Pythagore non ?
Mais comment justifier ?

Merci

maturin
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par maturin » 15 Nov 2008, 19:46

ben que vaut cos(BAC) quand l'angle BAC est droit ?

sourire62
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par sourire62 » 15 Nov 2008, 21:55

Cos BAC quand BAC vaut 90° est de 0

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par sourire62 » 15 Nov 2008, 21:57

Donc ce théorème devient le théorème de Pythagore : a²=b²+c²
car 2bcCos(BAC) s'annule avec Cos BAC=0


C'est ça ?

sourire62
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par sourire62 » 15 Nov 2008, 22:07

:we: 6) Donc j'ai tracé le triangle qu'il demande.

Pour trouver DF
Dans le triangle DEF SinE = DF/DE
Sin 50°=DF/7
DF=Sin50°x7
DF= environ 5.4cm

Pour trouver DFE
Dans le triangle DEF sin DFE = DE/FE

sin DFE =7
Sin DFE= environ 0.714 donc DFE = environ 46°

pour trouver EDF
Dans un triangle la somme des angles est de 180°
donc DEF+EFD+FDE=108°
50+46+FDE=180 donc FED=180-(50+46)
FDE=84°

Pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct, merci

Es-ce que c'est correct ? Ou pour DF comment fait-on si on veut utiliser la formule de l'exercice c'est à dire : a²=b²+c²-2bcCos(BAC)

Pouvez-vous me le le dire même si ce que j'ai fait est correct ..
:zen:
Merci beaucoup

 

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