Théorème des résidus

[Ben314]

Et va y donc qu'on change encore de notion : jusque là, il me semble que tu parlais d'hypersphères (qui vivent dans n'importe quel R^n et donc dans les C^n vu que ce sont des R^{2n})
Bon, passons....

Question : quel est le rapport entre tes C-Sphères et les lacets de C (c'est bien la notion de lacet dans C que tu voulais généraliser au départ ou j'ai rien compris)
Parce que, il me semble bien que les lacets dans C, on les paramétrise plutôt avec des réels, non ?

[Ben314]

P.S.

Une - sphère vie dans ( je ne suis pas sûr ).
La - sphère est :

Si c'est ça, tes C-sphères, c'est pas vraiment la peine de faire une nouvelle définition : si on regarde C^3 comme R^6, l'équation devient et c'est une hypersphère tout ce qu'il y a de plus habituelle.

[barbu23]

Question : quel est le rapport entre tes C-Sphères et les lacets de C (c'est bien la notion de lacet dans C que tu voulais généraliser au départ ou j'ai rien compris)
Parce que, il me semble bien que les lacets dans C, on les paramétrise plutôt avec des réels, non ?

Un cercle à mon avis, est un cas particulier d'un lacet.
Donc, au lieu de continuer à parler de lacet, je préfère parler de cercle. Donc, puisqu'on est placé dans , on parle bien de cercles dans .
En dimension superieur : dans par exemple, on doit parler de hyper-shpères dans . car un cercle est une sous variété réelle de de dimension : . Je ne peux pas dire que c'est une sous variété complexe de , car, je ne suis pas assez familier avec les sous variétés complexes. Je connais la théorie en tant que théorie, mais je n'ai à aucun moment essayer de mettre cette théorie en pratique sur des exemples concrets. :happy3:
Donc, c'est la notion de cercle que je voulais généraliser dans .

[barbu23]

P.S. Si c'est ça, tes C-sphères, c'est pas vraiment la peine de faire une nouvelle définition : si on regarde C^3 comme R^6, l'équation devient et c'est une hypersphère tout ce qu'il y a de plus habituelle.

Oui, c'est vrai parce que : si : .

[Ben314]

Je connais la théorie en tant que théorie, mais je n'ai à aucun moment essayer de mettre cette théorie en pratique sur des exemples concrets. :happy3:

En procédant comme ça, on comprend mieux la façon dont tu domine tes sujets.... :happy2:

Bon, sinon, effectivement, on peut considérer que les hypersphères (dans R^4) vont en quelque sorte généraliser les lacets de R^2, mais je ne suis pas du tout persuadé que ça soit la bonne généralisation.
Dans R^2, des "trous" dans un domaine, il n'y en a que d'une sorte que l'on entoure par des lacets (le "trou" pouvant être un point, ou un segment ou un disque...)
Par contre, dés R^3, il y a plusieurs types de "trous" : les points (ou autre boules ou segments) que l'on "entoure" avec des sphères et les droites (ou autres courbes fermées) qui elles sont "entourées" par des cercles (c'est les notions de base des pi_1 et pi_2 et des groupes d'homotopie)

Sauf que, si tu cherche à généraliser les théorèmes de Cauchy, je pense que ce qu'il faudra "entourer" dans R^4(=C^2), ce sont l'équivalent des pôles de tes fonctions de deux variables et il faudrait regarder à quels types de "trous" correspondent ces pôles.
Pour la fonction la plus simple qui vienne à l'esprit f(z1,z2)=1/z1, le "pôle", ça va pas être juste un point, mais tout les points de la forme (0,z2) qui forment un ensemble de dimension 2 de R^4 donc c'est pas un truc qu'on "entoure" avec une hypersphère (de dimension 3) mais de nouveau un truc qui "s'entoure" avec un cercle (de dimension 1)

[barbu23]

Merci pour cette jolie réponse que j'admire beaucoup. :lol3:
Je n'ai pas compris cette partie :

Pour la fonction la plus simple qui vienne à l'esprit f(z1,z2)=1/z1, le "pôle", ça va pas être juste un point, mais tout les points de la forme (0,z2) qui forment un ensemble de dimension 2 de R^4 donc c'est pas un truc qu'on "entoure" avec une hypersphère (de dimension 3) mais de nouveau un truc qui "s'entoure" avec un cercle (de dimension 1)

Tu peux détailler un peu plus la phrase soulignée en gras çi dessus ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Ce n'est certes pas facile à voir dans R^4 (c'est les truc qu'on voit en homotopie/homologie) donc on vé déjà voir en dimension 3 :
- Si tu enlève un point de R^3 et que tu imagine une sphère autour de ce point, on ne peut pas en la déformant dans R^3 privé de ce point la faire disparaitre (exactement comme un lacet qui fait le tour d'un pôle d'une fonction holomorphe dans R^2) : la sphère "entoure" le point.
Par contre, dans R^3 privé d'un point, si tu imagine un lacet, ce n'est pas un simple point qui va empêcher un quelconque lacet de "disparaitre" : un lacet "n'entoure" pas un point.
- Si tu enlève une droite de R^3, et que tu imagine une sphère dans ce qui reste, tu pourra toujours la faire "disparaitre" : une sphère ne peut pas "entourer" une droite. Par contre, un lacet peut "entourer" une droite, c'est à dire que la droite peut empêcher le lacet de disparaitre.

Résumé, la notion archi. importante de lacets homotopes dans R^2 (avec la notion d'indice d'un point par rapport à un lacet et tout les théorèmes qui vont avec) peut se généraliser dans R^3 de plusieurs façons (comme les droites du plan peuvent se "généraliser" par des droites ou des plans de R^3)
Après, si ce qui t'intéresse c'est pourquoi en dimension 4, pour "entourer" des "trous de dimension 2" il faut un lacet (de dimension 1), je te suggère... de te familiariser avec la notion de groupes d'homotopie et/ou de groupes d'homologie... qui sont la vision "propre" de ces concepts.

[barbu23]

- Si tu enlève une droite de R^3, et que tu imagine une sphère dans ce qui reste, tu pourra toujours la faire "disparaitre" : une sphère ne peut pas "entourer" une droite. Par contre, un lacet peut "entourer" une droite, c'est à dire que la droite peut empêcher le lacet de disparaitre.

Perso, je pense qu'on peut entourer une droite de par une sphère que je ne sais pas à quel espace elle appartient ? Est ce que de ton point de vue, c'est possible ?

Après, si ce qui t'intéresse c'est pourquoi en dimension 4, pour "entourer" des "trous de dimension 2" il faut un lacet (de dimension 1), je te suggère... de te familiariser avec la notion de groupes d'homotopie et/ou de groupes d'homologie... qui sont la vision "propre" de ces concepts.

J'aimerais que l'on parle de ça demain si cela ne te dérange pas, et si tu as un peu de temps à me consacrer bien sûr. J'aimerai que tu me donnes une interprétation visible, visuelle et pratique de ces notions qui est l’homotopie et l'homologie et leur relation avec l'analyse complexe ( théorème de Cauchy ... etc ).

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Perso, je pense qu'on peut entourer une droite de par une sphère que je ne sais pas à quel espace elle appartient ? Est ce que de ton point de vue, c'est possible ?

Oui, bien sûr, tout le monde sait qu'avec un ballon de baudruche on peut entourer un fil téléphonique. :doh:

J'aimerai que tu me donnes une interprétation visible, visuelle et pratique de ces notions qui est l’homotopie et l'homologie et leur relation avec l'analyse complexe ( théorème de Cauchy ... etc ).

C'est ce que je viens de faire, il me semble.

[barbu23]

Oui, bien sûr, tout le monde sait qu'avec un ballon de baudruche on peut entourer un fil téléphonique. :doh:

Mais, dis moi, oui ou non ? Tu penses que c'est possible ou non ? et pourquoi ? :we:

[Ben314]

Mais, dis moi, oui ou non ? Tu penses que c'est possible ou non ? et pourquoi ? :we:

Non, ce n'est absolument pas possible....

Achète un ballon et essaye.... :ptdr:

[barbu23]

:ptdr:
Moi, je ne sais pas, mais j'ai l'impression que ça peut être possible :
Lis ici : http://www.les-mathematiques.net/c/a/b/node14.php
Lis aussi sur les espaces projectifs ici : http://www.unige.ch/math/folks/ronga/geo_II/index.html à la page : 49 jusqu'à 52.
On dit dans un passage sur ces pages là que :
- On obtient en ajoutant à un point à l'infini.
- On obtient en ajoutant à des directions à l'infini.
Tu comprends bien cette dernière phrase ?. ( Moi non ) :dodo:
Peux tu me l'expliquer ?

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Oui, je comprend et.... ça n'a pas le début de la moitié du quart d'un rapport avec ce dont on parlait précédemment...

Et PR^n, pour être précis, il s'obtient en rajoutant une copie de PR^(n-1) "à l'infini" : ça découle directement de la définitions des espaces projectifs.

Cherche à comprendre la définition d'un espace projectif et... tu comprendra ce que ça veut dire.
(à la limite, il faut aller aussi juste en dessous de la définition pour voir quel sont les plongements de R^n dans PR^n pour comprendre qu'on peut identifier R^n à une partie de PR^n, mais que ce n'est pas canonique)

[barbu23]

... ça n'a pas le début de la moitié du quart d'un rapport avec ce dont on parlait précédemment...

Ben, une droite de peut être entourée de son compactifié qui ressemble à une sphère en dimension supérieure. :happy3:

Cherche à comprendre la définition d'un espace projectif et... tu comprendra ce que ça veut dire.
(à la limite, il faut aller aussi juste en dessous de la définition pour voir quel sont les plongements de R^n dans PR^n pour comprendre qu'on peut identifier R^n à une partie de PR^n, mais que ce n'est pas canonique)

C'est ce que j'essaye de faire, mais je n'arrive pas, c'est pourquoi je viens demander ton aide. :happy3:

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Peux -t-on intégrer une fonction sur un espace projectif pour avoir une sommation bornée ( i.e : ) ?

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Ben, une droite de peut être entourée de son compactifié qui ressemble à une sphère en dimension supérieure.

Pour toi, quand on a un point dans R^2, tu considère que c'est un truc qui "entoure" le point au même sens qu'un lacet ? :mur:

[barbu23]

Pour toi, quand on a un point dans R^2, tu considère que c'est un truc qui "entoure" le point au même sens qu'un lacet ? :mur:

C'est ce que je pense. Pourquoi pas. :happy3:

[Ben314]

C'est ce que j'essaye de faire, mais je n'arrive pas, c'est pourquoi je viens demander ton aide. :happy3:

Si k est un corps, Pk^n, c'est l'ensemble des droites vectorielles de k^{n+1}, c'est à dire l'ensemble des vecteurs non nuls de k^{n+1} quotienté par la relation "être colinéaire".
Si k=R ou C, c'est clairement l'ensemble des points de la sphère unité quotienté par la relation et la topo qu'on met sur le quotient, c'est celle induite par ce quotient.
Et... ça ne fabrique pas vraiment des "sphères" : PR^2, mais une "Surface de Boy" (un ruban de Moëbius au bord duquel on a collé un disque)

[Ben314]

C'est ce que je pense. Pourquoi pas. :happy3:

Parce que, (entre autre...) si on veut que ça ressemble un tant soit peu au cas des lacets entourant les points de R^2, il me semble qu'on va forcément demander que le truc qui "entoure" soit disjoint du truc "entouré" (pour calculer l'indice d'un point par rapport à un lacet dans R^2, il faut évidement que le lacet ne passe pas par le point !!!!!)
Alors que toi, tu "entoure" la droite avec un truc... qui contient la droite... :mur:
De plus, si ce que tu veut, c'est "généraliser" la notion de lacet "entourant" un point dans R^2, ben il faudrait au minimum que, dans le cas de R^2, on retombe sur des lacet. Or c'est franchement pas un lacet.

[barbu23]

Alors que toi, tu "entoure" la droite avec un truc... qui contient la droite... :mur:

Non, je veux l'entourer du plus petit espace projectif qui le contient, et non de son compactifié d'Alexandroff. Je veux l'entourer à vrai dire, de son compactifié de Stone-Cech. :happy3: