Suite récurrente coriace

[Graigi]

Bonjour à tous,

Je fais en ce moment face à une suite récurrente assez coriace dont je connais l'expression de u(n+1) en fonction de u(n) :



Je souhaite connaitre l'expression de u(n) pour tout n, le premier terme étant u(2) que je connais.
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci !

[Robot]

La fonction est une homographie. La méthode classique pour étudier les suites homographiques est de rechercher les points fixes de l'homographie. S'il y a deux points fixes et , la suite est une suite géométrique.

[Razes]

C'est quoi les valeurs de et ?

Il faut passer par le biais d'une transformation de suite du type:


Trouver les valeurs adéquates de pour lesquelles est une suite géométrique (sous certaine conditions).
Déterminer en fonction de
Déterminer en fonction de en utilisant les résultats trouvés

[Graigi]

Merci pour vos réponses rapides.
Je suis donc passé par la méthode de la fonction homographique et ai déterminé ses points fixes a et b qui sont :



(A, B, C et D sont de constantes dont l'expression est plutôt longue que je n'écrirai pas ici.)

Il faut donc maintenant que je détermine les valeurs c et d telles que soit géometrique, à savoir



Je ne comprend pas bien la démarche de cette méthode, à quoi cela nous sert-il et comment faire ?

[Robot]

Tu as une définition curieuse de suite géométrique !
La suite est dite géométrique quand il existe une constante telle que, pour tout entier naturel , .

S'il s'agit d'un exercice, tu devrais remplacer A, B C et D par leurs valeurs : ça se simplifie sûrement !

[Graigi]

Oui autant pour moi j'ai écris trop vite, je modifie mon message précédent.
Il ne s'agit malheureusement pas d'un exercice, l'expression de u est la forme la plus simple possible (je travaille sur un projet perso).

Pour finir la résolution, faut-il que je remplace par son expression en fonction de dans l'expression de ? Je ne vois pas à quoi cela va nous mener !

[Robot]

L'expression du terme général d'une suite géométrique n'est pas trop dure à trouver. Si tu as l'expression de comme fonction de , celle de ne devrait pas non plus être trop dure à trouver. C'est tout.

[Graigi]

Je suis passé par une autre méthode similaire mais je ne suis pas sûr du résultat :

- J'ai mis sous forme "homographique" :

en posant g = -AC, h = AB + ACD, c = -1 et d=D :

- Je cherche et tels que

Ils sont donnés par les racines de l'équation cr² + (d-g)r-h = 0

donc =

- est géométrique de raison

donc (puisque je connais )

- Je peux en déduire pour tout n 2 :



Qu'en pensez-vous ?

[Razes]

Point fixe : les solutions sont et






Donc suite géométrique de raison
On obtient :

A partir de on cherche en fonction de qu'on remplace par son expression. (De même en fonction de et vice versa)

[Razes]

Voici un lien avec quelques exercices pour application.http://jm.poublanc.free.fr/PCSI/Devoirs_en_temps_libre_files/Suites-homographiques(2).pdf

[Robot]

Je suis passé par une autre méthode similaire
....
Qu'en pensez-vous ?

C'est très exactement la méthode que je t'indiquais.

[Graigi]

Merci Razes pour cet exemple, n'est-ce pas la méthode que j'ai employée ?

[Robot]

C'est la méthode que tout le monde emploie pour traiter les suites homographiques. Il y a un cas spécial quand l'homographie a un point fixe double.

[Graigi]

Si ma suite ne converge pas est-ce que cette méthode est toujours valable ?

[Robot]

La convergence n'a rien à voir dans l'expression des termes d'une suite homographique. Et on a toujours convergence vers le point fixe attractif, sauf si la raison q de la suite géométrique est de module 1.

[zygomatique]

salut

C'est la méthode que tout le monde emploie pour traiter les suites homographiques. Il y a un cas spécial quand l'homographie a un point fixe double.

et c'est quoi le truc quand on a un point fixe double ?
quel changement de variable faut-il faire ? (ou autre chose)


merci par avance

[Razes]

Soit le point fixe.

; Avec à déterminer. qui prend la forme d'une suite arithmétique avec

[Kolis]

Bonjour !
Si et admet la racine double on a aussi
et .

Alors, constante, à calculer par utilisation d'une valeur particulière.
Ainsi la suite est une suite arithmétique, ce qui permet de calculer explicitement .

[Robot]

Un petit coup de droite projective complexe rend tout lumineux. On envoie un point fixe à l'infini et l'autre point fixe en zéro en conjuguant par l'homographie . On se retrouve avec une transformation affine qui a 0 comme point fixe, donc une homothétie . S'il y a un seul point fixe double , on l'envoie à l'infini en conjuguant par l'homographie . On se retrouve avec une transformation affine sans point fixe, donc une translation .

[zygomatique]

merci pour ces info ...