Preuves avec des modulos

[Subsib]

Bonjour,

J'ai plusieurs exercices dans le même style, où on me demande de prouver des égalités... Ça a l'air tout simple mais je ne sais pas du tout comment faire. J'ai pourtant lu plusieurs fois mon cours...

Voilà la question :

Montrer le résultat suivant : si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n), alors
a + c ≡ b + d (mod n) et a.c ≡ b.d (mod n)

Pour moi, si j'additionne les deux équations, bêtement, je vais trouver ça :
a + c ≡ (b + d) (mod n)

Mais je ne peux tout de même pas supprimer simplement la parenthèse... Alors j'imagine que je ne pars pas du tout dans la bonne direction.

Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la voie ?

Merci

[Subsib]

En fait, excusez-moi, je crois que j'ai trouvé, je donne la réponse ici.

Comme c'est congruent,
a - b = sn
c - d = tn

Je mets les deux équations ensemble :
a - b + c - d = sn + tn
a + c = b + d + n(s, t)
et donc...
a + c = b + d (mod n)

Enfin, ça, c'est pour la première partie...
Est-ce que je suis bien sur la bonne voie ?

[Robot]

le but de l'exercice est justement de démontrer que l'addition est bien définie sur les modulos.

Tu repars simplement de la définition de . Repartir de la définition est toujours un bon réflexe.

[Ben314]

Salut,
Ca ne va pas du tout...
Qu'est-ce qui te permet de croire que l'on a le droit d'ajouter deux "équations" où je met des guillemets à équations vu que ce ne sont pas des équations avec un symbole =, mais des "équations" avec un symbole .
Pense tu vraiment que, si on prend une relation quelconque sur les nombres réels, on aura forcément lorsque et ?
C'est évidement faux pour des tas de relations (par exemple pour la relation )
Et justement, ce qu'on te demande de démontrer, c'est que c'est vraie pour cette relation là.

Une autre façon de voir que ce que tu écrit, c'est n'importe quoi, c'est de constater que tu prétend démontrer une propriété concernant la relation sans utiliser ni la définition de cette relation, ni aucun théorème concernant la relation en question...

[Subsib]

Je le pense parce qu'il y a des relations d'équivalence de ce type dans mon cours :

Si a ≡ b mod n alors il existe t tel que b - a = tn

Dans mon énoncé, il n'est pas précisé qu'on est dans N, ou Z, j'ai quand même imaginé que c'était le cas.

[Ben314]

En fait, excusez-moi, je crois que j'ai trouvé, je donne la réponse ici.

Comme c'est congruent,
a - b = sn
c - d = tn

Je mets les deux équations ensemble :
a - b + c - d = sn + tn
a + c = b + d + n(s, t) <= c'est sensé vouloir dire quoi n(s,t) ?
et donc...
a + c = b + d (mod n)

Sur le principe, c'est plus ou moins correct, mais c'est (très) mal rédigé : il faut ABSOLUMENT prendre l'habitude de préciser la nature des variables qui "apparaissent" dans les calculs : dans quelles ensembles elles "vivent" et si la relation qu'on a écrit est vraie quelque soit la valeur de la variable en question ou alors si c'est vrai pour une valeur de la variable.

Ici, les variable a,b,c,d,n sont donnés par l'énoncé (qui doit préciser où elles "vivent") mais s et t, c'est toi qui les introduit et il faut absolument que tu écrive que :
Comme ab [n], il existe un entier s tel que a-b=sn.

[Subsib]

ok, c'est vrai que je n'ai pas cette habitude, je vais faire attention à ça (j'ai repris des études scientifiques sur le tard, je n'ai pas eu de formation solide en mathématiques je suis très fatiguée, je révise beaucoup ces jours... Ça déborde un peu ^^)

Aussi "a + c = b + d + n(s, t) " --> n(s+t). Étourderie.
Merci.

Pour le reste, je pense avoir trouvé, en passant par cette égalité :
ac - bd
= ac -bc + bc - bd
= c(a-b) + b(c-d)
et en réinjectant a-b = s.n et c-d = t.n :
= c(s.n) + b(t.n)

aussi en reprenant la première ligne et la dernière :
ac - bd = c(s.n) + b(t.n)
<-> ac = bd + n(cs + bt)
Comme n(cs + bt) est divisible par n,
ac = bd mod(n)

[Robot]

OK.
Juste un détail : évite d'écrire <-> comme tu l'as fait.
Ce que tu as écrit en employant <-> est que les deux égalités avant et après <-> sont logiquement équivalentes : la première égalité est vérifiée si et seulement si la deuxième l'est. C'est exact, mais ce n'est pas ce que tu voulais dire. Tu voulais dire que la première égalité est vraie, et donc que la deuxième égalité est vraie. Vois tu la différence ?

[Subsib]

oui, je crois, c'est la différence entre => et <=> ?

Il vaut mieux que je n'écrive rien, pour passer d'une ligne à l'autre, dans ce cas ? ou
=> ?

[Robot]

Ecrire => n'est pas mieux : tu affirmes dans ce cas que si la première égalité est vérifiée, alors la deuxième l'est aussi. Ce n'est pas la même chose qu'affirmer que la première égalité est vérifiée, et donc que la deuxième l'est.
En détail le raisonnement est :
"On a A. On a aussi A => B. Donc on a B". (On peut abréger en "A, donc B" si l'implication A=>B est évidente)
Ecrire juste A => B veut dire "Si A, alors B". On n'affirme pas A.
Employer ces abréviations pour dire autre chose que ce qu'elles veulent dire est un contresens

[Subsib]

Ok, merci pour l'explication.