Preuves par cas

[capa57]

Bonjour j'ai une question

Je sais pas du tout comment faire ni comment utiliser un "proof by cases" quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance, Ger

[capa57]

n = 2 p

n² + n = pair

(2p)² + 2p

on sait que 2p est toujours pair, donc (2p)² est pair, et 2p est pair aussi, la somme de 2 nombres pair est toujours pair, c'est comme ça qu'il faut résoudre ?

j'y comprends rien en preuves donc... et qu'est ce qu'on appelle preuve par cas concrètement ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Moi, je dirais :
n²+n = n(n+1)
cas 1 : n est impair, alors (n+1) est pair
cas 2 : n est pair
Le produit est toujours pair, et il n'y a pas d'autre cas possible.

[Jota Be]

n = 2 p

n² + n = pair

(2p)² + 2p

on sait que 2p est toujours pair, donc (2p)² est pair, et 2p est pair aussi, la somme de 2 nombres pair est toujours pair, c'est comme ça qu'il faut résoudre ?

j'y comprends rien en preuves donc... et qu'est ce qu'on appelle preuve par cas concrètement ?

Salut,
par cas signifie que tu dois définir des cas différents et les traiter séparément.
Ce que tu as fait est bien pour n=2p; p entier
Or un entier est soit pair, soit impair. Puisque tu as traité le cas où n est pair, tu dois maintenant traiter le cas où il est impair.
On prend n=2k+1; et ainsi de suite...

Pour montrer que n²+n est pair lorsque n est pair, je préfère que tu développes (2p)² pour bien mettre en évidence la parité de 4p², bien que ça fasse un peu tatillon.

[capa57]

n = 2p + 1

n² + n = pair

(2p +1)² + 2p +1

(2p)² + 1² + 2p + 1

(2p)² = pair
2p = pair
1 + 1 = 2 = pair
la somme de plusieurs nombres pair donne un nombre pair

comme ça ?

[Jota Be]

n = 2p + 1

n² + n = pair

(2p +1)² + 2p +1

(2p)² + 1² + 2p + 1

(2p)² = pair
2p = pair
1 + 1 = 2 = pair
la somme de plusieurs nombres pair donne un nombre pair

comme ça ?

Non, (2p+1)² est différent de (2p)²+1² !

[capa57]

Non, (2p+1)² est différent de (2p)²+1² !

n2 + n = (2p + 1)² + 2p + 1 = (2p)² + 2(2p * 1) + 1² + 2p + 1 = 4p² + 4p + 2 + 1 + 2p + 1 = 4p² + 6p + 4

mieux ?

[Jota Be]

n2 + n = (2p + 1)² + 2p + 1 = (2p)² + 2(2p * 1) + 1² + 2p + 1 = 4p² + 4p + 2 + 1 + 2p + 1 = 4p² + 6p + 4

mieux ?

Un peu mieux, mais ce n'est pas le résultat.
Enfin tu y étais presque, mais tu as rajouté trop de constantes.

et on conclut

[capa57]

un nombre multiplié par 2 est toujours pair donc c'est prouvé.

Ok , merci les gars :) génial pour votre aide si rapide ;)

[Jota Be]

un nombre multiplié par 2 est toujours pair donc c'est prouvé.

Ok , merci les gars génial pour votre aide si rapide

Je viens de regarder la preuve de dlzlogic et elle est plus simple, plus rapide.

[capa57]

c'est pas faux ^^