Lemme de Gauss

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RadarX
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Lemme de Gauss

Messagepar RadarX » 23 Aoû 2005, 23:16

Dans une preuve de ce lemme de Gauss, il ya une affirmation qui me parait ...suspecte. voir en rouge entre parentheses.
Mais je donne quand meme toute la preuve, ca peut servir dans le forum.

LEMME DE GAUSS: A un anneau principal et p€A un element irreductible. Alors si a et b €A tels que p divise ab, p divise a ou b.

PROOF:Supp que p ne div pas a et soit l'ideal (p,a).
A etant principal, il existe c€A t.q. (p,a) = ( c).
Par suite il exsite x et y €A t.q. p = cx et a = cy
Comme p ne div pas a, il ne div pas c.
Et puisque p est irreductible, il divise x [COLOR=Red](LA EST MON PROBLEME) [/COLOR]
Il existe alors u€A t.q. x = pu et, en simplifiant l'egalité p = cpu on a 1 = cu ==> c est inversible et (c) = A.
Ainsi il existe f et g € A t.q. 1 = pf + ag ==> b = bpf +bag. Comme ab multiple de p, b est alors multiple de p. QED.



Anonyme

Messagepar Anonyme » 23 Aoû 2005, 23:28

p=cx => p|cx
(p irr et p divise pas c) => p|c

RadarX
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Messagepar RadarX » 23 Aoû 2005, 23:36

Non inscrit a écrit:p=cx => p|cx
(p irr et p divise pas c) => p|c

p|x voulais-tu sans doute ecrire; j'ai compris , mais cela ne repond pas a ma question. En fait, avec cette affirmation en rouge, j'ai l'impression qu'on a utlisé ce qu'on voulait justement montrer! Vois tu?

RadarX.

Nightmare
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Messagepar Nightmare » 24 Aoû 2005, 01:58

Bonjour

Puisque p est irréductible et ne divise pas c, alors
Ainsi d'aprés le théorème de Bezout il existe deux éléments u et v de A tels que :

Donc :

Or p|upx et p|vcx donc p|x

Je ne vois pas où l'on a utilisé ce qu'on veut démontrer ici :lol3:

:happy3:
Jord

RadarX
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Messagepar RadarX » 24 Aoû 2005, 11:52

Nightmare a écrit:Bonjour

Puisque p est irréductible et ne divise pas c, alors
Ainsi d'aprés le théorème de Bezout il existe deux éléments u et v de A tels que :

Donc :

Or p|upx et p|vcx donc p|x

Je ne vois pas où l'on a utilisé ce qu'on veut démontrer ici :lol3:

:happy3:
Jord


Pourquoi alors au lieu de faire toute cette dissertation dans la preuve, on n'a pas dit comme toi: p|ab et, en supposant que p ne div pas a (il est donc premier avec a) alors il div b. C'aurait été plus simple!

On utilise d'habitude cet argument de Bezout pour montrer dans Z que si a|cb et a premier avec b, alors il divise c. Dans un anneau principal quelconque, j'ai l'impression qu'il y a d'autres subtilités;
En l'occurence pourquoi si p irreductible et et ne div pas a alors il est premier avec b (dans un anneau principal qcq)???

RadarX.

Nightmare
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Messagepar Nightmare » 24 Aoû 2005, 12:07

En l'occurence pourquoi si p irreductible et et ne div pas a alors il est premier avec b (dans un anneau principal qcq)???


Je pense que tu veux dire :
"Alors il est premier avec a"

si p est irreductible, alors ses seuls diviseurs sont lui même et
Si b n'est pas divisible par p, alors le seul diviseurs qu'ils aient en commun est (car b n'admet pas p comme diviseur) d'où le fait que p et b soient étrangers

:happy3:
Jord

RadarX
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Messagepar RadarX » 24 Aoû 2005, 14:35

"si p est irreductible, alors ses seuls diviseurs sont lui même et 1"

Les seuls diviseurs de p (irreductible) seraient plutot tous les inversibles et les associes de p.
D'ailleurs dans la partie en rouge de la preuve ou j'ai un probleme, je pense n'etre en mesure que de dire: "PUISQUE p EST IRRED, ALORS c OU x EST INVERSIBLE" et pas autre chose!

RadarX.

Nightmare
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Messagepar Nightmare » 24 Aoû 2005, 14:36

pourquoi p irréductible serait-il divisible par les inversibles ?

Anonyme

inversibles d'un anneau

Messagepar Anonyme » 24 Aoû 2005, 14:40

les inversibles divisent tout le monde, ils te divisent même toi, Nightmare!

RadarX
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Messagepar RadarX » 24 Aoû 2005, 14:41

Par definition d'un irred p,
* p non inversible
* si p = ab alors a ou b est inversible.
:we: "Il n'est pas marrant 7-Glaives!!?"
RadarX.

Nightmare
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Messagepar Nightmare » 24 Aoû 2005, 14:44

Autant pour moi j'avais une mauvaise définition de l'irréductible

RadarX
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Aloooors???

Messagepar RadarX » 24 Aoû 2005, 21:32

:triste: Apparemment personne n'aime le Lemme de Gauss :triste:
Ou que cela n'inspire personne!

RadarX.

sept-épées
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Messagepar sept-épées » 25 Aoû 2005, 13:19

Si j'ai bien suivi, la partie de la preuve qui manque, c'est :

"si p est irréductible et ne divise pas a, alors (p,a)=A"

allons-y :

A étant principal, (p,a)=(c) . Mais alors c divise p qui est irréductible donc (c)=(p) ou (c)=A (par définition d'un irréductible). Et si (p,a)=(c) était égal à (p), p diviserait a, ce qui est exclu. Donc (p,a)=A.

Questions : le lemme de Gauss est-il encore vrai dans un anneau factoriel? bezoutien? dans un anneau où le pgcd existe? j'attends des preuves ou des contre-exemples (je cherche aussi).

phenomene
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Messagepar phenomene » 25 Aoû 2005, 13:44

sept-épées a écrit:Questions : le lemme de Gauss est-il encore vrai dans un anneau factoriel? bezoutien? dans un anneau où le pgcd existe? j'attends des preuves ou des contre-exemples (je cherche aussi).


Il est vrai dans un anneau factoriel (c'est l'unicité de la décomposition en facteurs irréductibles qui joue), et c'est bien pratique pour travailler dans des anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées, qui sont factoriels mais non principaux.

 

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