Isométries

[edouardchappon]

Bonjours, mon professeur a défini une isométrie vectorielle comme une application linéaire de V dans V' (deux espaces vectoriels euclidiens) qui conserve le produit scalaire et qui est bijective, mais la bijectivité n'est pas impliqué par appli linéaire qui conserve les distances?
Du coup le groupe orthogonal de V est l'ensemble des isométries de V dans V ? (mon prof rajoute appartenant à GL(V) .
Et enfin dans la définition d'isométrie affine: "X et X' espaces affines euclidiens f isométrie si f est bijectif et conserve les distances" la bijectivité n'es pas nécessaire?
De même on a une proposition:" si f:X->X' bijection affine alors f est une isométrie ssi la partie linéaire de f conserve la norme" l'hypothèse bijection n'est pas nécessaire?
Merci de vos réponses et explication

[capitaine nuggets]

Salut !

une isométrie vectorielle comme une application linéaire de V dans V' (deux espaces vectoriels euclidiens) qui conserve le produit scalaire et qui est bijective, mais la bijectivité n'est pas impliqué par appli linéaire qui conserve les distances?

Je pense que c'est vrai uniquement si .

Soit une isométrie vectorielle.
Je dirais que si conserve le produit scalaire alors pour tous , .
En particulier, pour , on a , c'est-à-dire .
Si alors donc . Donc est injective.
Si alors est bijective.

Ca remonte un peu la géométrie pour moi...

[edouardchappon]

Merci de ta réponse, mais pour une application linéaire qui conserve les distance on a bien que le ker et l'image son en somme directe non? supposons y=f(x) et y dans kerf alors norme de f(y)= norme de y =0 on conclu par le théorème du rang que E=imf+kerf et kerf inter imf =0 donc injectivité plus somme directe -> bijectivité?

[capitaine nuggets]

pour une application linéaire qui conserve les distance on a bien que le ker et l'image son en somme directe non?

Je ne sais pas (dans mes cours, j'avais toujours des endomorphismes). Tu as une preuve de ce que tu avances ?

[edouardchappon]

Ha oui je viens de revoir ma preuve c'est juste que si les espaces d'arrivés et de départ sont de dimensions égale... Je ne trouve que des définitions d'isométries d'un espace vectoriel X dans X mais pas dans des ev différents. mais comment une appli linéaire peut être bijective si les dimensions d'arrivée et de départ sont différentes..?

[capitaine nuggets]

Justement, c'est impossible : si on a une application linéaire bijective alors la dimension de l'espace de départ et d'arrivée sont égales.

[edouardchappon]

Don si f est une isométrie on a f injective et dim V=dimV' --> bijective donc l'hypothèse de bijectivité est useless? Le raisonnement est bon?

[zygomatique]

salut

la bijectivité est nécessaire dans les espaces de dimension infinie ... pour lesquels une isométrie injective n'est pas forcément bijective ...

[Ben314]

Salut,

Donc si f est une isométrie on a f injective et dim V=dimV' --> bijective

Là, c'est un peu n'importe quoi ce que tu écrit :
- Déjà et pour commencer, dans la définition que tu cite dans ton premier post de ce qu'est "une isométrie", il y a le fait d'être bijective, donc de dire que "si f est une isométrie alors f est bijective", ben c'est complètement évident... par définition.
- En supposant que ce que tu voulais dire, c'était "si f préserve les distance on a f injective et dimV=dimV'" alors c'est faux : le fait de préserver les distance implique bien évidement l'injectivité, mais ça n'implique évidement pas que les espaces V et V' sont de même dimension : si tu prend l'injection canonique d'une droite dans le plan, ça préserve les distance et ça n'est pas bijectif (donc ce n'est pas une isométrie au sens de la définition que tu donne).