Suites et probabilités terminale

[carrie]

Bonsoir, j'ai un petit problème sur un exercice. Je suis complètement bloquée si quelqu'un peut m'aider. J'ai répondu aux premières question mais celle là me donne du fil à retordre la voici :

Bonjour, avec votre aide, j'ai réussi à finir mon exercice mais en voici en autre sur lequel j'ai un peu de mal.

"Un professeur oublie fréquemment les clés de sa salle de classe.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note On l'événement :
le professeur oublie ses clés le jour n
et On (On ici est souligné sur le dessus) l'événement contraire de On.

De plus, on pose pn=P(On)

La probabilité qu'il oublie ses clés le 1er jour est de 2/5. On suppose en outre que :

- Si le jour n, il oublie ses clés, la probabilité qu'il les oublie encore le jour (n+1) est de 3/10.
- Si le jour n, il n'oublie pas ses clés, la probabilité qu'il les oublie le jour (n+1) est de 1/5.

Question 2 petit c:

Montrer que pn+1=1/5+1/10pn pour tout n supérieur ou égal à 1.

Merci pour toute aide

[carrie]

Je peux fournir des précédents calculs si il y en a besoin.

[tony21]

Bonsoir, Soit pn+1 : Proba d'oublier ses cles le jour n+1
Proba d'oublier ses cles le jour n+1 = (Proba d'oublier ses cles le jour n)*(proba d'oublier ses cles le jour n+1 quand il a oublié le jour n) + (proba de ne pas oublier ses cles le jour n)*(proba d'oublier ses cles le jour n+1 quand il n'a pas oublié le jour n)
"Proba d'oublier ses cles le jour n" = pn
"proba de ne pas oublier ses cles le jour n" = 1-pn
"proba d'oublier ses cles le jour n+1 quand il a oublié le jour n" = 3/10
"proba d'oublier ses cles le jour n+1 quand il n'a pas oublié le jour n" = 1/5
d'où pn+1 = pn*(3/10) + (1-pn)*(1/5)
pn+1 = pn*(3/10) + 1/5 - pn*(1/5)
pn+1 = 1/5 + pn*(3/10 - 1/5)
pn+1 = 1/5 + pn*(3/10 -2/10)
pn+1 = 1/5 + (1/10)*pn

[carrie]

Ah merci beaucoup ! je comprends maintenant, merci de votre aide

[carrie]

J'aurai tendance à dire que cette suite est arithmétique est ce cela ?