Suites définies par récurrence

[alex-blade2]

J'appelle votre aide sur une toute nouvelle notion de notre programme de terminale S, les suites définies par récurrence. Je vous mets l'énoncé :

Soit la suite (Un) définie sur IN* par :

|U1 = -1
|Un+1 = (n/[2(n+1)])Un + [3(n+2)]/[2(n+1)]

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que la suite (Un) est majorée par 3.

Dans le cours nous avons vu un seul exemple avec la suite 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Mais pour cette suite il n'y a pas d'égalitée alors je ne vois pas comment faire pour raisonner par récurrence ?
Merci d'avance pour votre aide, qui me serait très précieuse.

[Sylviel]

Le raisonnement par récurrence consiste à dire :
- si je suis sur la première marche d'un escalier (infini)
- et si je sais passer d'une marche à la suivante
=> alors je sais monter jusqu'en haut.

Ici tu veux montrer Pn : un =< 3
il faut donc procéder en 2 temps
- P1 est vrai (tu es sur la première marche)
- Si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie. (tu passes d'une marche à la suivante)

P1 est vraie : ...
si Pn est vraie : ... (qu'est ce que cela signifie)
alors tu veux montrer Pn+1 : ... (qu'est ce que cela signifie?)

Bon remplis déjà les trous et essaie de terminer, si tu n'y arrives pas reviens :)

[alex-blade2]

Pour calculer U1 il me faut U0 or je n'ai pas U0, comment faire ?

[Sylviel]

Relis ton énoncé... U1 est donné :)

[alex-blade2]

Il faut montrer que Un+1 = -1 ?

[Sylviel]

Non ! il faut montrer que Un+1 =< 3.
Et essaie de remplir les trous du post que j'ai écris pour toi stp, qu'on voie où exactement tu perds le fil...

[alex-blade2]

Le problème c'est que je ne vois pas ce qui est la proposition normalement c'est une égalité or ici on a pas d'égalité, car pour montrer que P1 est vrai il faut calculer les deux membres et trouver la même réponse.
P1 est vraie : ...

[Sylviel]

Non pour montrer que P1 est vraie il faut montrer que
u1=< 3 (car Pn c'est "un=<3")

[alex-blade2]

Mais alors c'est imédiat, U1= -1 donc P1 est vrai car -1<3.

alors tu veux montrer Pn+1 < 3 pour tout n de IN*
?

[Sylviel]

Au fait, pour rebondir sur ce que tu as dit "normalement c'est une égalité" : absolument pas ! Une méthode de démonstration par récurrence c'est une méthode qui permet de montrer plein de propriétés (on appelle ça des assertions). Ca peut être des égalités (comme ce que tu as fait en cours), des inégalités (comme ici), des trucs plus compliqués (comme la continuité ou la dérivabilité d'une fonction), des trucs géométriques (une suite de point appartient à un cercle, un disque, une droite)...
L'idée étant de dire :
- si je sais aue "la proposition avec n=4" est vraie
- et si je sais que "si la proposition est vraie avec n alors elle est vraie pour n+1"
alors elle est vraie pour n=5
- or "si la proposition est vraie avec n alors elle est vraie pour n+1"
donc elle est vraie pour n=6
- or "si la proposition est vraie avec n alors elle est vraie pour n+1"
donc elle est vraie pour n=7
...

[alex-blade2]

Ah d'accord merci beaucoup car moi dans ma tête je pensais ue ça marchait que pour des égalité et puisque ici je n'avais pas d'égalité j'étais bloqué.

Alors ici je sais que la proposition est vraie pour n=1
il faut que je suppose qu'elle est vrai pour n et que je calcule pour n+1 ?

[Sylviel]

Exactement ! enfin plutôt que "calcule" il faut que tu montres qu'elle est vraie pour n+1.
Si tu as un doute reprend le texte a trous que je t'ai laissé pour compléter les morceaux.

[alex-blade2]

P1 est vraie : car n=-1 et -1<3
si Pn est vraie : alors P(n) : (n/[2(n+1)])Un + [3(n+2)]/[2(n+1)] < 3
alors tu veux montrer P(n+1) : On remplace n par n+1 et Un par Un+1 et donc l'expresion (n/[2(n+1)])Un + [3(n+2)]/[2(n+1)]. Mais dans cette expression Un on le remplace par quoi ?

[Sylviel]

Tu ne le remplaces pas. Par contre tu sais que un=<3, et ça devrait suffire

[alex-blade2]

J'ai calculé Un+1 - 3 < 0
et je trouve : (Un x n - 3n)/2(n+1)
Puisque Un<3 alors le dénominateur sera négatif et le numérateur est tout le temps positif. Donc le quotient sera négatif pour tout n de IN*. C'est ce qu'on voulait trouvé donc, Un est majorée par 3.
C'est ça ?

[Sylviel]

Oui sauf que je soupçonnes un raisonnement pas très rigoureux. Voilà comment j'aurais fait :
Un+1-3 = ...
= (Un x n - 3n)/2(n+1)
= (Un - 3)n/2(n+1)

or Un=<3
donc (Un - 3) =<0
or n/2(n+1)>0
donc
Un+1-3=< 0
donc Pn+1 est vraie.


La rédaction complète d'une démonstration par récurrence est ainsi :
on veut montrer pour tout n la propriétée Pn: "..."
- Montrons que P0 est vraie (ou P1...)
- Supposons que Pn est vraie (il s'agit de l'hypothèse de réccurence)
=> alors Pn+1 est vraie
- donc Pn est vraie pour tout n.

[alex-blade2]

Quelle est l'hypothèse de récurrence ici ? Un+1 > 3 ?

[alex-blade2]

J'ai un problème dans ma rédaction :
Initialisation P1 est-elle vraie ? U1 =-1 et -1<3 donc P1 vraie.

Suponsons P(n) vraie, c'est à dire :
n/[2(n+1)]Un+ [3(n+2)]/[2(n+1)] < 3

Et là on doit démontrer que Pn+1 est vraie, mais moi j'ai calculer Un+1 - 3 <0
ça voudrait dire que le calcul qu'il faut réaliser est :

[(n+1)/(2(n+2)) [Un+1] + [3(n+3)]/[2(n+2)] - 3 < 0 ? et donc remplacer Un+1 par toute l'expression de l'énoncée ?

Mais si je fais ça alors j'obtiens un résultat vraiment inutilisable.
Je me serais trompé sur la proposition de n ?
Car si je veux Pn+1 = Un+1 alors qu'est P(n) ?
J'ai vraiment besoin d'aide je ne trouve plus.

[Sylviel]

Non tu te trompes :
Supposons P(n) vraie, c'est à dire : un=<3
et montrons que Pn+1 est vraie c'est à dire Un+1=<3.
Pour cela calculons Un+1 - 3 = ...

[alex-blade2]

Merci beaucoup Sylviel, en faite ce qui me posait problème c'est qu'on a pas d'expression de Un c'est pour ça je me voyais mal marqué Un<3. Ca va mieux pour le calcul là. Merci.