Suite définie par une somme

[homersimpson59]

Bonjour

Je bute sur une question d'un exercice, ça doit sans doute être tout bête mais je ne vois pas comment faire.

Soit la suite définie par

=

La question 1 que j'ai trouvé facilement consistait à montrer
que pour tout réel tel que , on a



Mais la question 2, je ne vois pas comment faire, il faut en déduire que pour tout ,

Il ne faut quand même pas juste multiplier les membres par ? Ce serait trop simple et faux en plus, car est une somme avec la variable qui s'incrémente.

Donc voila où j'en suis...

Merci

Homerimpson59

[JPzarb]

Salut,
Premièrement pour info juste, une suite définie comme la somme des termes d'une autres suites s'apelle une serie.

Pour en revenir à ton problème, il faut en fait raisonner sur la variable discrète k, et sur la suite Vk = n/(n+sqrt(k))

En fait,
Un = V1+V2+V3...+Vn

Imaginons que la suite Vk soit décroissante (au hasard ;) ). On aurait alors :
Vn < V(n-1) < Vk < V(k-1) <.....< V2 < V1
Donc si on prend le plus grand terme de tout ca (V1) on a :

V1 + V1 +... V1 > Vn + V(n-1) + ... + V1 > Vn + Vn +....+ Vn
Donc
n*V1 > Un > n*Vn ----> CQFD

Comprends tu ?

A bientôt

[homersimpson59]

Salut

Désolé mais je ne comprend absolument rien

Pourquoi marques-tu que Un = V1 + V2 + V3 + ... +Vn ?
C'est faux car dans ta définition de Vk il y a un n au numérateur , or dans Un c'est un 1 qui est toujours au numérateur.

Homersimpson59

[JPzarb]

Autant pour moi, c'est une erreur de ma part,

Mais ca marche bien avec
Vk = 1/(n+sqrt(k))

Encore désolé.

[homersimpson59]

Re

Premièrement pour info juste, on n'écrit pas "autant pour moi" mais "au temps pour moi" (clin d'oeil à la formulation de ta première réponse ^^)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Au_temps_pour_moi

Mais je ne comprend plus ta réponse à partir de cette ligne là

V1 + V1 +... V1 > Vn + V(n-1) + ... + V1 > Vn + Vn +....+ Vn

Homersimpson59

[JPzarb]

Du coté francais ... joli clin d'oeil, je me rend ^^

Du coté math maintenant,
Imagine que tu prennes plein de nombres (disons que tu en prend n) tous positifs et supérieurs à 0.
Par exemple, au hazard : 5 8 9 6 5 7 5 10 65 98 2 (ici n=11)
Si je les sommes tous j'ai une somme S.
S = 5 +8 +9 +6 +5 +7 +5 +10+ 65+ 98 +2

Maintenant si je veux un encadrement basique de cette somme, ce que je peux faire c'est :
prendre le plus petit (ici 2), et remplacer tous les nombres par le plus petit :
2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2+ 2+ 2 +2 . J'obtiens une somme égal à n*2. De plus cette somme est forcément plus petite que S

Si je prend maintenant le plus grand (ici 98) et que je fais la même chose. J'obtiens une troisième somme égal à n*98, qui elle est plus grande que S

J'ai donc un encadrement simple de S :
n*2 < S < n*98

C'est exactement ce que j'ai fait sauf que ma série de nombre sont les termes de la suite Vk, le plus grand terme est V1 et le plus petit Vn (puisque la suite est strictement décroissante).

D'où mon raisonnement.

Comprends tu ?

[homersimpson59]

Oui maintenant j'ai compris, mais quand tu dis
"Imaginons que la suite Vk soit décroissante"
Il faut d'abord que je le démontre, non ? Pour que le raisonnement soit correct.

Homersimpson59

[JPzarb]

Effectivement :) ... Mais ça, tu t'en sortiras ;)

[homersimpson59]

Voila j'ai fini de rédiger mon exercice ! Merci beaucoup pour ton aide !