Continuité uniforme

Voila en cours on a vu la defintion d'une fonction uniformement continue avec les signes " il exite alpha, tel que ... " mai concretement je ne voit pa vraiment ce que ça donne, par exemple une fonction continue c'est une fonction pour laquelle lorsqu'on trace la courbe on ne leve pas le stylo mais pour uniformement continue on a dit que alpha ne depend plus de x, je ne voit pas a quoi cela correspond.


Merci d'avance

Une fonctin continue, c'est une fonction qui ne change pas trop quand x ne change pas trop localement.
Une fonction uniformémént continue, c'est une fonction qui ne change pas trop quand x ne change pas trop, mais de la même manière pour tous les x
On peut le voir aussi (même si ce n'est pas absolument vrai) en pensant que c'est une fonction dont la dérivée est bornée (ce n'est pas absolument vrai puisqu'il y a des tas de fonctions continues pas dérivables, mais l'idée est la même)

Il y a aussi la fonction racine carrée qui est uniformément continue mais à dérivée non bornée.

Est ce que l'on pourrait remplacer dérivée bornée par "variations bornées"?

Je ne sais pas.
Pour revenir au sens général de continuité uniforme, il faut remarquer que la continuité est une propriété locale (continue en un point, en tout point), alors que la continuité uniforme est une propriété globale (un peu comme la croissance)et ça entraîne des difficultés dans les raisonnements.
Par exemple la fonction racine carrée dont je parlais est uniformément continue sur [0;2] par exemple (th de Heine) et aussi sur [1; +infini[ (1-contractante), mais le recollement des deux intervalles n'est pas clair.

A ma connaissance, il n'y a pas d'interprétation graphique de la continuité uniforme.
Et ne parlons pas des applications de cette notion...

yos a écrit:A ma connaissance, il n'y a pas d'interprétation graphique de la continuité uniforme.
Et ne parlons pas des applications de cette notion...

je pense que l'on a des applications entre la continuité uniforme et l'équicontinuité. (entre autres)
A+

yos a écrit:Je ne sais pas.
.
Par exemple la fonction racine carrée dont je parlais est uniformément continue sur [0;2] par exemple (th de Heine) et aussi sur [1; +infini[ (1-contractante), mais le recollement des deux intervalles n'est pas clair.

...

Ben c'est assez clair : pour tout , il existe un tel que entraîne sur [0 ; 2], un tel que entraîne sur , en prenant , en veillant qu'il soit aussi inférieur à 1/2, on garantit que si alors x et y appartiennent tous deux soit à [0; 2] soit à , et donc
On peut recoller à condition que ce soit un nombre fini d'intervalles, et que les intersections soit d'intérieurs non vides.
Remarque, c'est une définition (la continuité uniforme) qui est une définition métrique et non topologique

Disons que c'est pas très dur à montrer, mais je voulais donner un exemple où il ne suffit pas de dire "c'est le cas sur I et sur J donc c'est vrai sur I union J".
Meme avec I et J qui se chevauchent, il faut une démonstration.