Fonction dérivable

Bonjour,voila un exercice dont j'ai aucune idée de la résolution:
Montrer que f:R->R ,dérivable,et telle que : f^2+(1+f')^2=<1 est nulle.
Merci .........

bien on a alors f^2+f'^2=<0, donc on a une somme de deux carrés (donc positifs) qui est nulle, donc les deux termes sont nuls : f^2=f'^2=0

un exo comme on aimerait en avoir davantage

vous savez c'est un exo d'un oral de polytechnique..............
Evidemment ,je vous ai rendu la tache facile en me trompant dans l'énoncé.......
Désolé.
...Je l'ai a présent corrigé..............Ca va etre plus intéressant et plus ardu..... :doh:

le début
(1 +f ' )^2 =<1 donc l1+f 'l =< 1 e t f ' =< 0

f décroit f a une limite L en -infini

reste L = 0 ?

f^2+(1+f')^2=<1 t'as oublié un terme je crois....

1-f^2 =< 1

f^2+(1+f')^2=<1 <=> f^2+1+2.f'+f'^2=<1

Equivalent a: f^2+2.f'+f'^2=<0 ..............

c'est bien =< au départ pas = ?

oui c'est ca

f -> L en + infini disons f est bornée par 1

on a pour epsilon >0 dans un certain [A,+infini[

(1 +f ' ) ^2 =< 1 -f ^2 < 1 - L^2 + epsilon


de plus

g(x)= ( [x+f(x) - A-f(A) ] /(x-A) )^2 apour limite 1 en + infini car f bornée

donc il existe A ' tel que pour x >= A '

1- epsilon < g(x)

le TAF appliqué à x-> x+f(x) entre A et A'

donne il existe c

1- epsilon=< g(A ') = ( 1 + f ' (c) )^2 < 1 -L^2 +epsilon
et L^2 < 2 epsilon puis L = 0

idem en -infini

les limites sont nulles et f décroit donc f est nulle

très joli.

Taf ??................

l ' X ???????????????????

Théorème des accroissement finis = TAF :

si f est dérivable sur [a,b], alors il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

oui c'est bien un exo de l'X

Ah fahr451,tu a du potentiel!!! :++: :++:

OU ALORS:
f^2+(1+f')^2 <=1 implique (f+f')^2<=0 donc f+f'=0
On résoud l'équa diff et on trouve f(x)=a exp(-x) a réel.
qd on repart de l'énoncé en remplaçant f(x) par aexp(-x), on trouve:
a (a exp(-x) -1) <=0
si a >=0 alors 0 =< a <= exp(-x) pour tout x. On passe à la limite en +infini, et on trouve a=0
même raisonnement pour a <= 0 alors exp(x) <= a <= 0 ...

largement amorti hélas