Vecteur dans deux bases différentes

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Rockleader
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Vecteur dans deux bases différentes

par Rockleader » 14 Sep 2012, 16:48

Bonjour,


voilà un exo que l'on nous a donné aujourd'hui à la fac. Alors, j'ai bien la correction, mais j'avoue ne pas avoir compris la méthode à suivre, je viens donc demander votre aide.

Image


Bon, ce qu'il faut savoir c'est que chaque vecteur "e" est unitaire, apparemment ce serait une notation pour la physique, mais je le précise au cas où^^




Là où j'ai un soucis c'est au niveau des question 1 et 2. Pour le reste une fois qu'on a les réponses du 1 et du 2 c'est un jeu d'enfant...





Mais j'avoue ne pas comprendre la façon de pouvoir exprimer les vecteurs en question.

On nous as dit qu'il fallait les projeter...mais le prof n'a pas vraiment été clair à ce sujet; ce qui fait que je n'ai pas vraiment saisi la méthode. Non pas que je ne lui ai pas demander d'expliquer, mais je n'ai pas saisi son explication, il a même parlé à un moment de faire tourner la feuille pour mieux voir...mais j'avais beau tourner dans tout les sens j'ai rien compris à ce qu'il disait --' peut être parce que c'était un prof de physique et non de math...mais rejeter la faute sur les autres c'est pas facile, je préfère croire que c'est moi qui ne comprends pas^^




Donc si quelqun avait la possibilité de me montrer comment il fait pour un seul de ces vecteurs, ce serait sympathiques.

Disons par exemple pour le vecteur unitaire ey' dans la base (ex;ey)
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !



Nightmare
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par Nightmare » 14 Sep 2012, 16:57

Salut,

exprimer ey' dans la base (ex,ey), c'est exactement exprimer ey' comme combinaison linéaire de ex et ey.

Autrement dit, il s'agit de trouver a et b tels que ey'=aex+bey, (a,b) seront alors les coordonnées de ey' dans (ex,ey).

De façon plus géométrique, pour trouver les coordonnées de ey' dans (ex,ey), il s'agit de savoir, en partant de l'origine O, de quelle distance je me déplace dans la direction ex et dans la direction ey pour atteindre le bout de ey'. (Si tu ne comprends pas cette phrase, je te ferai un dessin mais là aux premiers abords j'ai la flemme :lol3: )

Je te laisse y réfléchir, pense aux fonctions trigonométriques.

Luc
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par Luc » 14 Sep 2012, 17:51

Pour compléter ce qui a été dit :
les vecteurs de la nouvelle base sont image des vecteurs de l'ancienne base par une rotation.
Il est donc utile de connaitre les matrices de rotations.
Sinon petit moyen mnémotechnique pour ne pas confondre cosinus et sinus : prend la limite d'un angle très petit, au premier ordre.

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par Rockleader » 14 Sep 2012, 18:36

Salut et merci pour vos réponses.


Je tiens à dire que j'ai bien compris la situation, on se situe dans le cercle unitaire, le "a" sera donc un cosinus et le "b" sera un sinus.


Mais je ne vois pas comment les déterminer à priori.
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Nightmare
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par Nightmare » 14 Sep 2012, 18:39

Manque plus qu'à faire intervenir le alpha !

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par Rockleader » 14 Sep 2012, 20:32

Nightmare a écrit:Manque plus qu'à faire intervenir le alpha !



Je n'ai pas été assez explicite pardon, j'aurais plutôt dire que j'avais bien compris que ce serait de la forme de :

cos alpha et sinus alpha.

Mais comment en déduire le signe ? Egalement comment savoir si cos alpha va aller avec ex par exemple ou bien avec ey...

Sur ma correction, il y a un coup le cosinus qui marche avec X, et un autre coup c'est le sinus...



Désolé mais je crois que le dessin va réellement être nécessaire pour que je comprenne. Tout du moins la description de ce qu'il faut faire sur un exemple. J'insiste sur le fait, c'est vraiment la méthode que je n'ai pas comprise.
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par Rockleader » 15 Sep 2012, 10:18

Je me permet un petit up car j'aimerais pouvoir comprendre cela assez rapidement.


Si je prend l'exemple du vecteur ex' dans la base (ex;ey)

Pour moi l'expression se serait : cos(alpha) ex + sin (alpha) ey et d'après ma correction c'est ok.


Si je regarde maintenant pour ey' toujours dans la même base:

l'expression est ey' = -sin(alpha) ex + cos (alpha) ey

Et là je ne vois pas du tout comment on fait pour trouver ça. Si vous pouviez m'expliquer au moins celui ci, de manière à ce que j'arrive à retrouver les autres tout seul.
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

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par Rockleader » 15 Sep 2012, 14:08

UP

Désolé pour le triple post, mais il me faut absolument comprendre cela avant ce soir si possible.
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Luc
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par Luc » 15 Sep 2012, 14:51

Rockleader a écrit:UP

Désolé pour le triple post, mais il me faut absolument comprendre cela avant ce soir si possible.

effectivement tu as raison, il faut absolument faire le dessin à chaque fois pour être sur de ce qu'on fait.
En prépa en SI, on utilise ces formules de changement de repère à tour de bras, et on fait toujours le dessin (avec parfois 3,4,5 angles intervenant dans les problèmes, sur plusieurs axes différents).

Quand tu fais le dessin, il faut dessiner un angle alpha PETIT. Comme ça tu vois tout de suite que le grand côté de ex', c'est sa projection sur ex et donc c'est un , que le petit côté de ex' c'est sa projection sur ey et donc c'est un .
Que le grand côté de ey' c'est sa projection sur ey et donc c'est un , que le petit côté de ey' c'est sa projection sur ex et qu'elle est négative et donc c'est un .
Tu peux vérifier en disant que la rotation d'angle alpha, qui envoie (ex,ey) sur (ex',ey') admet pour matrice dans la base ex,ey. Son déterminant est bien égal à cos^2+sin^2=1.

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par Rockleader » 15 Sep 2012, 14:55

Je n'ai pas encore vu les matrices je ne peux donc pas procéder comme ça.



Quand au dessin, je pense que je pourrais comprendre, seulement, je ne vois pas comment on le projette.
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Luc
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par Luc » 15 Sep 2012, 15:02

Rockleader a écrit:Je n'ai pas encore vu les matrices je ne peux donc pas procéder comme ça.



Quand au dessin, je pense que je pourrais comprendre, seulement, je ne vois pas comment on le projette.

Oublie les matrices, ce n'est pas l'essentiel.

Pour comprendre le dessin, il faut penser à un triangle rectangle et utiliser la trigo.
Imagine un triangle rectangle OXX', rectangle en X. Les coordonnées de O sont (0,0). Le vecteur OX est de coordonnées (X,0) et le vecteur OX' est le vecteur ex', de norme 1.
Maintenant, tu sais que est l'angle XOX', donc d'après les formules de trigonométrie de 3ème, =X/1=X. Donc la projection de ex' sur ex vaut .

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par Rockleader » 15 Sep 2012, 15:15

Luc a écrit:Oublie les matrices, ce n'est pas l'essentiel.

Pour comprendre le dessin, il faut penser à un triangle rectangle et utiliser la trigo.
Imagine un triangle rectangle OXX', rectangle en X. Les coordonnées de O sont (0,0). Le vecteur OX est de coordonnées (X,0) et le vecteur OX' est le vecteur ex', de norme 1.
Maintenant, tu sais que est l'angle XOX', donc d'après les formules de trigonométrie de 3ème, =X/1=X. Donc la projection de ex' sur ex vaut .



Bon ok, je ne sais pas si j'ai compris, mais je vais essayer pour ey'


on a le triangle rectangle OYY' en Y.

On a donc cos(alpha) = eY/eY' = eY/1 = eY ce qui expliquerait cos(alpha)eY


De la même manière sin(alpha) = [eYeY']/eY' = [eYeY']

mais là je n'ai pas de rapport avec eX il y a donc un problème quelque part...
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Luc
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par Luc » 15 Sep 2012, 15:23

Rockleader a écrit:Bon ok, je ne sais pas si j'ai compris, mais je vais essayer pour ey'


on a le triangle rectangle OYY' en Y.

On a donc cos(alpha) = eY/eY' = eY/1 = eY ce qui expliquerait cos(alpha)eY

C'est bon.
Rockleader a écrit:De la même manière sin(alpha) = [eYeY']/eY' = [eYeY']

Euh, il sort d'où le [eYeY']???
En fait comme tu sais que il y a un cos pour eY' sur eY, tu peux en déduire sans calculs que c'est un sin ou un -sin pour eY' sur eX. Comme sur le dessin tu vois que eY' va vers la gache, c'est un -sin.

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par Rockleader » 15 Sep 2012, 15:31

Et bien ça vient du fait que ce soit un sinus donc c'est le coté opposé sur l’hypoténuse non ?


Je sais que par logique on peut trouver l'autre, mais j'aimerais pouvoir le trouver par le calcul pour comprendre entièrement la méthode.
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Luc
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par Luc » 15 Sep 2012, 15:41

Rockleader a écrit:Et bien ça vient du fait que ce soit un sinus donc c'est le coté opposé sur l’hypoténuse non ?


Je sais que par logique on peut trouver l'autre, mais j'aimerais pouvoir le trouver par le calcul pour comprendre entièrement la méthode.

Oui mais le côté opposé il vaut eX justement. Pour le voir, prends le triangle rectangle de même hypoténuse, qui forme un rectangle avec le triangle rectangle initial.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 15 Sep 2012, 15:43

Bonjour,
Tout à fait d'accord avec Luc.
Il y a une chose dont il faut se souvenir, c'est que l'on a toujours la forme
X=Ax + By
Y=Bx - Ay
A et B sont sin(a) et cos(a) ou l'inverse
Le nombre de signes '-' est toujours impair.
Le choix entre sin et cos dépend des sens de rotation et des origines des angles.
J'ai énormément utilisé cette formule et je n'ai pas trouvé d'autre moyen que le petit dessin.
Ca c'était pour l'utilisation.
Pour la démonstration, il suffit de projeter un vecteur sur l'autre système. (Projection orthogonale).

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par Rockleader » 15 Sep 2012, 16:01

Luc a écrit:Oui mais le côté opposé il vaut eX justement. Pour le voir, prends le triangle rectangle de même hypoténuse, qui forme un rectangle avec le triangle rectangle initial.




Ah mais bien sur, je suis bête...

Le sinus alpha vaut donc eX'/eY' = eX'

Ce qui expliquerait sin(alpha) eX'


Donc eY'= sin(alpha)eX' + cos (alpha)eY


SI j'ai bien compris, ce serait plutot en fait -sin(alpha)eX' car on projette vers la droite sens inverse du sens trigo.

Donc

eY'= sin(-alpha)eX' + cos (-alpha) eY

-sin(alpha)eX' + cos(alpha) eY


Mais j'ai toujours eX' au lieu de eX.... :mur:
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

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par Rockleader » 15 Sep 2012, 17:08

J'ai l'impression de coincer sur un truc fondamental et ça m'énerve...
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Luc
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par Luc » 15 Sep 2012, 17:12

Rockleader a écrit:J'ai l'impression de coincer sur un truc fondamental et ça m'énerve...

C'est pas eX' mais bien eX.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 15 Sep 2012, 17:19

Rockleader a écrit:J'ai l'impression de coincer sur un truc fondamental et ça m'énerve...

Moi, je dirais que c'est une faute de calcul.
l(ennui avec les "'" c'est qu'ils passent facilement inaperçu.
Refaites le calcul en mettent des noms de variables visiblement différents.
Si vous y êtes arrivé pour calculer l'abscisse, il n'y a pas de raison de ne pas y arriver avec l'ordonnée.

 

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