Tetrahedron non régulier / astronomie

Je n'aime pas m'inscrire sur un forum pour "quémander de l'aide", mais parfois, on doit s'avouer... ne pas être un expert en géométrie ^^'

voici mon souci, sans doute simple :

. 3 étoiles, B, C, D, l'observateur (A) connaît les distances entre elles

. L'observateur (tel un sommet de ce tétraèdre non régulier) les voit dans son ciel, et connaît donc les angles BAC, CAD, DAB


.. Quelle distance sépare l'observateur de B, C et D ?


À défaut de pouvoir/avoir le temps de répondre, une simple piste serait très appréciée

pour le moment, je n'ai réussi à en déduire qu'une chose : il y a 2 combinaisons possibles de distances.

Bonjour,

Je n'ai pas le temps de regarder en détails pour le moment, mais à première vue, voici ce que je ferais : si on se place sur le plan contenant A, B et C, on est ramené à positionner B et C sur (AB) et (AC) en connaissant la longueur BC ainsi que l'angle BAC qui fixe les deux droites. Dès lors, on peut utiliser le théorème d'Al Kashi (j'ai un doute sur l'orthographe :-D) qu'on redémontre chaque fois en deux lignes à partir des vecteurs : BC²=(BA>+AC>)²=BA²+AC²+2*BA*AC*cos(BAC).
En faisant ça les 3 fois, on obtient un système de 3 équations à 3 inconnues... mais malheureusement, il n'est pas linéaire. Toutefois, on devrait pouvoir s'en sortir vu qu'il est de degré 2 et donc que chaque équation est résoluble en fixant la seconde inconnue via delta et compagnie...
Attention toutefois : il n'y aura pas toujours de solution à ces 6 données vu que les 3 longueurs fixent un triangle unique qui ne sera pas toujours positionnable avec un sommet sur chacune des 3 droites.

Cordialement, DedenK.

J'ajoute d'ailleurs que XY ne l'est pas non plus : c'est le produit de X et de Y (on a donc une réunion de deux courbes de zéros qui sont chacune un des axes (Ox) et (Oy)).

J'ai un peu regardé ton truc, mais je n'ai rien trouvé de plus rapide que ce que propose DedenK, c'est à dire de résoudre un système de 3 équations :
y²+z²+byz=B
z²+x²+czx=C
x²+y²+axy=A
où a,b,c,A,B,C sont connus.

A la rigueur, si tu connait la notion (ou si tu veut l'apprendre), tu peut utiliser des résultants : tu regarde tes deux premiéres équations comme des polynômes en z (avec coeffs dépendant de x et y) et tu calcule le résultant (qui sera un polynôme de d° 4 en x,y) pour savoir à quelles conditions elles ont des racines communes.
Tu regarde ensuite ce résultant et la 3em équation comme des polynômes en y dont tu calcule le résultant : tu obtient un simple polynôme en x, mais... de degrés 8 !!! [en fait je pense qu'il est pair, vu que (x,y,z) solution du système => (-x,-y,-z) est aussi solution]

merci beaucoup de votre aide, c'est vraiment sympa ! :we:

car pour le moment la méthode que j'emploierai faute de mieux >

http://1nicky.free.fr/triangle.jpg

et faire coulisser de la sorte la droite [BC] jusqu'à ce que le "cercle" de D croise la "demie droite" [AD) (je suis démasqué.. en effet, je ne suis pas mathématicien !) >

http://www.youtube.com/watch?v=tMRZ3ytNNZo

bon, c'est pas franchement parfait... voilà pourquoi je demande de l'aide. Comment diable trouver les 2 positions où D est à sa place...

En tout cas, c'est super joli comme dessins, et c'est pas con du tout comme méthode graphique pour voir les solutions.
Aprés, je sais pas si ça permet de faire les calculs plus simplement que la méthode donnée par DedenK qui, à la fin se termine par un polynôme de degrés 4 (en fait de degrés 8 mais pair).
J'ai essayé de faire les calculs "formels" avec Maple pour voir s'il y avait des "simplifications" évidentes, mais j'ai rien trouvé...

Bon déjà, lors de ta construction, le centre de ton cercle (qui est un "point fixé" du segment mobile [BC]) décrit une éllipse (ou plutôt un morceau d'éllipse) centrée en A...

Je vois, en fait il faudrait essayer de trouver la surface du "tore" formé par l'ellipse...

voilà la tête de la bête. ^^

Autant le centre du cercle décrit une courbe mathématiquement "assez simple" (une éllipse), autant je pense que la surface obtenue lors du mouvement du cercle risque de ne pas être façile à paramétrer donc il risque d'être assez complexe de calculer ses intersections avec la droite (AC)...
Je me demande, si tu cherche les valeurs numériques de AB, AC et AD si le plus simple n'est pas le polynôme du 4 em degré sus mentionné...

(je te reprends, "intersections avec la droite (AC)..." > "intersections avec la droite (AD)...")


je suis du genre naze en maths, ceci explique peut-être mon approche assez.. géométrique. car avec le polynôme ci dessus, je risque de ne pas trop m'en sortir !

mais bon, pourquoi pas, car je dois avouer que cette surface m'a l'air un peu trop.. compliquée de toutes façons.


si tu n'as pas le temps, ne t'acharnes pas, je vais bien trouver !

Pour le (AD), c'est effectivement une faute de frappe...

Sinon, je le (re)dit : au niveau géométrique, ta construction est trés jolie et trés astucieuse, mais je pense que si c'est les valeurs numériques qui t'interessent, l'équation de la surface décrite par le cercle est assez compliquée...

Le truc que je trouve bizare, c'est que ta méthode semble donner (au plus) deux solutions alors qu'un polynôme de degrés 4 peut en avoir jusqu'à 4...
Si j'ai du temps, j'essayerais de tracer (ou plutôt de faire tracer) cette surface pour voir s'il n'y a pas des cas ou elle peut couper la droite (AD) en 4 points. Si c'est le cas, ce serait plus ou moins une "preuve" qu'il y a un polynôme de degrés 4 derrière ton problème...

j'ai un peu regardé la surface (banal logiciel de 3D et non de math), il ne me semble pas qu'elle ai l'occasion d'avoir plus de 2 collisions en pratique.. après en théorie.. je ne sais pas.

edit: arf non, toujours pas trouvé.

je vais essayer d'écrire un solveur d'équation en java qui va essayer toutes les formules possibles et les comparer à des échantillons de résultats, mais je ne suis pas très confiant :ptdr:

bon, je n'ai toujours pas trouvé.. :hein:

donc j'up ma question :we:

J'avais calculé le polynôme de degré 8 (mais pair) en x dont je parle dans le post #3 à l'aide de mapple, il est un peu "abominable" dans le sens que les coeffs (qui dépendent de a,b,c, A,B,C) sont un peu gros.
Sauf que ma machine perso étant en rade, je n'ai plus mapple à la maison et je sais pas trés bien me servir de Wolfram... (si y'a un courageux...)

Une fois le poly de degrés 4 (degrés 8 / 2 vu grâce à la parité) rentré dans un programme, en utilisant le théorème de Sturm, on peut trouver le nombre de racines réelles positives (ce sont les carrés des x qui marchent) puis approximer ces racines (au max 4) et en déduire par simple résolution du secon degrés les y et z correspondants.

C'est le seul truc qui me vient pour être sûr de ne pas "rater" des solutions.