C algébriquement clos

busard_des_roseaux a écrit:Cher Léon1789,

est-ce que tu connais une démo du thm de D'alembert-Gauss (C algébriquemt clos) purement algébrique ? sauf erreur, il n'y en a pas. Les démonstrations
comportent toutes de l'analyse.

Cher busard_des_roseaux... :ptdr:
Bon, le problème est de connaitre les prérequis dans cette histoire. Est-ce qu'on admet toutes les propriétés utiles sur R, ou pas ?

Exemple en supposant > :

-- on définit le corps C comme étant le quotient .
-- on prend un polynôme , on multiplie par son conjugué . On a bien sûr . On connait R et on sait que les polynômes réels se factorisent en produit de polynômes irréductibles de degré 1 ou 2. Donc Q se factorise ainsi dans R[X].
-- soit irréductible de degré 2. Avec son discriminant et les formules habituelles, on peut calculer ses deux racines complexes. Autrement dit, T est totalement décomposé sur C.
-- conclusion : tout polynôme complexe est totalement décomposé sur C.


Est-ce que cela convient comme preuve 100% algébrique ?

leon1789 a écrit:on sait que les polynômes réels se factorisent en produit de polynômes irréductibles de degré 1 ou 2.

Comment veux-tu prouver ça sans D'Alembert?

yos a écrit:Comment veux-tu prouver ça sans D'Alembert?

Oui, le problème est là, c'est certain :we:

Si ce résultat n'est pas dans nos prérequis, alors on ne connait pas "suffisamment" R, si bien qu'il faudra faire un peu d'analyse pour palier ce "manque" car

yos a écrit:(...) c'est dans la nature des choses puisque R est défini par complétion (et C nécessite R).

Tu peux prendre une cloture algébrique de Q au lieu de C.

yos a écrit:Tu peux prendre une cloture algébrique de Q au lieu de C.

Que veux-tu dire ?

Tu veux que je démontre que tout polynôme à coefficients dans la clôture algébrique (notée W) de Q est totalement décomposé sur W ? (il y a des preuves 100% algébriques)

je vous laisse discuter, je n'ai pas le niveau...

leon1789 a écrit:Que veux-tu dire ?

Tu veux que je démontre que tout polynôme à coefficients dans la clôture algébrique (notée W) de Q est totalement décomposé sur W ? (il y a des preuves 100% algébriques)

Ben non. C'est la définition même d'une clôture algébrique d'un corps K : extension de K dans laquelle tout polynôme est scindé. Tout corps en possède une et deux quelconques sont isomorphes (Steinitz). Pour Q ce n'est pas C mais un truc plus petit (dénombrable d'ailleurs), noté sans aucun rapport avec l'adhérence. Sa construction est (presque) exclusivement algébrique. C'est pourquoi j'en parlais.

yos a écrit:Ben non. C'est la définition même d'une clôture algébrique d'un corps K : extension de K dans laquelle tout polynôme est scindé.

Pour "clôture" algébrique de K, je dirais : c'est l'ensemble de tous les éléments (d'un sur-corps algébriquement clos) algébriques sur K,
ou encore le plus petit sur-corps de K dans lequel tout polynôme à coefficients dans K est scindé.

Reste à savoir si tout polynôme à coefficients dans y est scindé aussi (ce qui est vrai, ça se démontre algébriquement).

yos a écrit:Tout corps en possède une et deux quelconques sont isomorphes (Steinitz). Pour Q ce n'est pas C mais un truc plus petit (dénombrable d'ailleurs), noté sans aucun rapport avec l'adhérence. Sa construction est (presque) exclusivement algébrique. C'est pourquoi j'en parlais.

pourquoi écris-tu "(presque)" ???

leon1789 a écrit:ou encore le plus petit sur-corps de K dans lequel tout polynôme à coefficients dans K est scindé.

Oui minimal : je l'avais pas écrit.

leon1789 a écrit:pourquoi écris-tu "(presque)" ???

Parce qu'on doit faire une limite inductive.

J'ai lu qu'on ne connaissait pas de preuve 100% algébrique de d'Alembert.

yos a écrit:Parce qu'on doit faire une limite inductive.

ok pour un corps quelconque, mais pas pour Q.

Pour en particulier, on peut considérer l'ensemble des nombres complexes algébriques sur Q. Ils forment la clôture algébrique. Pas besoin de limite inductive dans ce cas.

ThSQ a écrit:J'ai lu qu'on ne connaissait pas de preuve 100% algébrique de d'Alembert.

oui, c'est exact.

C'est peut-être parce que ce n'est pas un résultat 100% algébrique :we: (cf construction de R)

Il existe une preuve presque algébrique.Le suel truc d analyse,c pour dire qu un poly reer de degré impair a un zero reel(par le TVI)

leon1789 a écrit:ok pour un corps quelconque, mais pas pour Q.

Pour en particulier, on peut considérer l'ensemble des nombres complexes algébriques sur Q. Ils forment la clôture algébrique. Pas besoin de limite inductive dans ce cas.

Non. Tu vas les chercher où tes nombres algébriques? Dans l'espace-temps? Sauf si tu dis l'ensemble des complexes algébriques sur Q. Et à ce moment là tu utilises le théorème de D'Alembert.
Par contre une limite inductive peut être considèrée comme un procédé algébrique (là c'est du domaine du libre choix).

Questions (sans agressivité) :

- Est-ce que ça a un sens (en dehors du challenge) de rechercher une preuve purement algébrique vu que IR est construit avec l'analyse il me semble (que ce soit le complété de Q ou avec ces coupures de Dedekind spaces).

- Est-ce que ça a un sens de séparer l'algèbre et l'analyse ainsi, comme si l'un était propre et l'autre sale ?

ffpower a écrit:Il existe une preuve presque algébrique.Le suel truc d analyse,c pour dire qu un poly reer de degré impair a un zero reel(par le TVI)

ah !
Dire qu'un polynôme de degré impair possède un zéro réel est un résultat élémentaire du corps des réels. C'est un résultat (d'analyse) intrinsèque à R, qui n'a besoin de rien d'autre pour être énoncé.

ffpower, stp, peux-tu rappeler (ou donner une référence) la démo de C algébriquement clos utilisant cette propriété de R ?

yos a écrit:Non. Tu vas les chercher où tes nombres algébriques?

C'est vrai que pour construire C, on a besoin d'un coup d'analyse (pour R), donc l'analyse a aussi un rôle dans cette manière de faire...

yos a écrit:Sauf si tu dis l'ensemble des complexes algébriques sur Q.

ben, c'est exactement ce que j'ai dit... :hein:

yos a écrit:Et à ce moment là tu utilises le théorème de D'Alembert.

heu, non pas du tout. On peut aussi considérer l'ensemble des réels algébriques sur Q, ou même la partie d'un corps contenant Q formée par les éléments algébriques sur Q (sans théorème de D'Alembert).

yos a écrit:Par contre une limite inductive peut être considérée comme un procédé algébrique (là c'est du domaine du libre choix).

oui, c'est vrai, ça me semble aussi plus algébrique qu'une complétion du type Q -> R.

ThSQ a écrit:- Est-ce que ça a un sens (en dehors du challenge) de rechercher une preuve purement algébrique vu que IR est construit avec l'analyse il me semble (que ce soit le complété de Q ou avec ces coupures de Dedekind spaces).

Je pense pas en effet, c'est ce que j'avais déjà écrit. Mais j'ai lu des auteurs affirmer à propos du th de D'Alembert "qu'il n'a pas de preuve vraiment satisfaisante" et cela me surprend comme jugement.

ThSQ a écrit:- Est-ce que ça a un sens de séparer l'algèbre et l'analyse ainsi, comme si l'un était propre et l'autre sale ?

Là aussi je partage ton point de vue. D'ailleurs la topologie est à la base de tous les raisonnements "litigieux" (avec de sales limites, d'obscures dérivées, des intégrales impropres...) et quoi de plus algébrique que la topologie (générale bien sûr)?

ThSQ a écrit:- Est-ce que ça a un sens (en dehors du challenge) de rechercher une preuve purement algébrique vu que IR est construit avec l'analyse il me semble (que ce soit le complété de Q ou avec ces coupures de Dedekind spaces).

Effectivement, R étant construit "par analyse" sur Q, et C "par algèbre" sur R, je ne vois pas comment on pourrait se passer du caractère analytique de R...
D'ailleurs, si on extrapole, tout résultat algébrique sur C ou R contient une partie d'analyse (qui est au moins la définition de R :we: ).

Cela dit, pour moi, faire une preuve algébrique du fait que C est algébriquement clos, c'est écrire une démonstration utilisant
-- des outils algébriques habituels sur C (conjuguaison complexe par exemple)
-- des propriétés intrinsèques de R obtenues préalablement (du style l'existence d'un zéro pour tout polynôme de degré impair, par TVI : il faut dire que le TVI est fortement lié à la définition de R...)

ThSQ a écrit:- Est-ce que ça a un sens de séparer l'algèbre et l'analyse ainsi, comme si l'un était propre et l'autre sale ?

oula, personne ne pensait à ça ! :ptdr:

leon1789 a écrit:heu, non pas du tout. On peut aussi considérer l'ensemble des réels algébriques sur Q, ou même la partie d'un corps contenant Q formée par les éléments algébriques sur Q (sans théorème de D'Alembert).

Pas du tout : tu tournes en rond. Pour définir , tu n'as que deux choix :
- Par en-dessous (la construction de Steinitz).
- par au-dessus (en supposant connu C et le th. de D'Alembert).

leon1789 a écrit:oui, c'est vrai, ça me semble aussi plus algébrique qu'une complétion du type Q -> R.

Ce qui me fait penser que ce procédé est à la frontière, c'est le cas de qu'on peut construire par voie topologique (complétion de Q) et qui en fait un analogue de R, mais qu'on peut obtenir autrement : on peut le définir comme le corps des fractions de lui-même obtenu de façon algébrique (?) comme limite (projective) des .

yos a écrit:Je pense pas en effet, c'est ce que j'avais déjà écrit. Mais j'ai lu des auteurs affirmer à propos du th de D'Alembert "qu'il n'a pas de preuve vraiment satisfaisante" et cela me surprend comme jugement.

Je suis aussi de ton avis.

Autant je suis choqué quand on utilise des trucs d'analyse pour démontrer des trucs algébriques (alors que l'algèbre suffirait), autant je suis choqué par "il n'a pas de preuve vraiment satisfaisante"... L'auteur de cette phrase avait surement une idée dernière la tête pour dire ça...

yos a écrit:Là aussi je partage ton point de vue. D'ailleurs la topologie est à la base de tous les raisonnements "litigieux" (avec de sales limites, d'obscures dérivées, des intégrales impropres...) et quoi de plus algébrique que la topologie (générale bien sûr)?

arf, le passage à la limite... encore un truc de "dingue" ! :we:

yos a écrit:Pas du tout : tu tournes en rond. Pour définir , tu n'as que deux choix :
- Par en-dessous (la construction de Steinitz).
- par au-dessus (en supposant connu C et le th. de D'Alembert).

ok pour la construction par le dessous.
ah ok, je viens de comprendre pour la construction par le dessus :
* la définition de l'ensemble W des complexes algébriques se fait de manière naïve ;
* mais on a besoin du caractère algébriquement clos de C pour démontrer que W est algébriquement clos aussi. Oui, ok.

yos a écrit:Ce qui me fait penser que ce procédé est à la frontière, c'est le cas de qu'on peut construire par voie topologique (complétion de Q) et qui en fait un analogue de R, mais qu'on peut obtenir autrement : on peut le définir comme le corps des fractions de lui-même obtenu de façon algébrique (?) comme limite (projective) des .

ok

Et l'anneau des séries formelles A[[X]] est quand même algébrique (même si c'est aussi un complété de A[X] pour la valuation en X), non ?