C algébriquement clos

[leon1789]

Toujours pas...
Si le déterminant de A est non nul, le résultat est évident.

Oui, c'est exactement ce qu'il faut penser : le noyau dur de la preuve est > :we:

Or, avec la démo sur C et la densité, c'est loin d'être évident je trouve.

Que t'apporte cette restriction du corps de base?

Je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire.
Tu veux dire, à quoi ça sert de considérer l'anneau des polynômes sur Z au lieu de C ? ben justement à justifier que le déterminant de A est non nul (ce qui est faux en général dans M_n(C) )

[yos]

Tu veux dire, à quoi ça sert de considérer l'anneau des polynômes sur Z au lieu de C ? ben justement à justifier que le déterminant de A est non nul (ce qui est faux en général dans M_n(C) )

Je comprends rien à l'esprit de la démo : le déterminant de A considéré comme élément de M_n(C) ou de M_n(Z) ou autre est le même.

[leon1789]

Je comprends rien à l'esprit de la démo : le déterminant de A considéré comme élément de M_n(C) ou de M_n(Z) ou autre est le même.

Si on prend une matrice A dans M_n(C), est-ce que son déterminant est inversible ? non pas toujours... et donc la matrice A n'est pas toujours inversible.

Si on prend la matrice générique où tous les sont des indéterminées sur Z, alors le déterminant de A est inversible dans , donc A est inversible dans .

La différence est là.

En fait, pour prouver le théorème général,

\quad \det(x.I - AB) = \det(x.I - BA)"/> dans E[x], où E est un anneau commutatif quelconque (et non E=C uniquement),

il suffit de faire la démonstration dans le cas particulier (dit "générique") E = Q(a_{11},...,a_{nn}, b_{11},...,b_{nn}) en prenant et . Et dans ce cas particulier, la preuve est instantanée ! :zen:

[leon1789]

Je comprends rien à l'esprit de la démo : le déterminant de A considéré comme élément de M_n(C) ou de M_n(Z) ou autre est le même.

Si on prend une matrice A dans M_n(C), est-ce que son déterminant est inversible ? non pas toujours... et donc la matrice A n'est pas toujours inversible.

Si on prend la matrice générique où tous les sont des indéterminées sur Z, alors le déterminant de A est inversible dans , donc A est inversible dans .

La différence est là.

En fait, pour prouver le théorème général,

dans E[x], où E est un anneau commutatif quelconque (et non E=C uniquement),

il suffit de faire la démonstration dans le cas particulier (dit "générique") en prenant et . Et dans ce cas particulier, la preuve est instantanée ! :zen:

[yos]

Merci pour ta patience : j'étais à côté de la plaque.

J'ai pensé à une autre façon de voir :
reprenons le cas d'un corps K. Le résultat est acquis pour rg(A)=n. Supposons à présent rg(A)=n-1. On considère det(xI-AB)-det(xI-BA) comme un polynôme en l'unique indéterminée : il est de degré 1 et possède au moins deux racines (remplacer par des valeurs qui rendent A inversible : faisable quitte à prendre plutôt que ) donc il est nul.
Et ainsi de suite si rg(A)=n-2...
Ca a l'air de marcher.

[leon1789]

Ce qui me fait penser que ce procédé est à la frontière, c'est le cas de qu'on peut construire par voie topologique (complétion de Q) et qui en fait un analogue de R, mais qu'on peut obtenir autrement : on peut le définir comme le corps des fractions de lui-même obtenu de façon algébrique (?) comme limite (projective) des .

Donc finalement, on pourrait penser que la complétion est un procédé mi-algébrique, mi-analytique ?

[yos]

Donc finalement, on pourrait penser que la complétion est un procédé mi-algébrique, mi-analytique ?

Pour R, il n'y a pas de procédé analogue à celui de .