Spé maths TS : démo arithmétique

Bonjour à tous, je sollicite votre aide pour une démo qui est demandée dans plusieurs exos que j'ai tenté de faire pour réviser mon ds et sur laquelle je bloque :

On me dis : soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux, montrer que a+b et ab sont premiers entre eux.

je suppose qu'on le doit partir de l'égalité de Bézout :

Comme a et b sont étrangers il existe u et v tels que

au + bv = 1

et faire apparaitre ab et a+b pour caractériser le fait qu'ils soient premiers entre eux : c'est là que je coince.

Have you an idea please ?

Ps : je suis habituellement pas muvais en maths mais là en spé, en arithmétique donc pour l'instant, j'ai vraiment du mal : je comprend, ça me plait mais 5 exos sur 6 même en connaissant à fond mon cours et les applications faites en classe je n'arrive pas à démarrer. Savez-vous si la moyenne de spé est importante sur le dossier pour une prépa parce que pour l'instant à coté des autres elle fait tache ?

Voilà merci

Bonjour,

Connais-tu le théorème de Gauss?

Bonsoir,

Soit p, un nombre PREMIER, divisant ab et a+b; que peux-tu dire?

je connais mon théorème de Gauss :

mais si a et b premiers entre eux comment un tel p peut il exister j'ai du mal à le concevoir

sinon je pensais :

, si ab divise p alors a et b divisent p car a et b étrangers donc a+b divise p, donc p divise ab + (a+b) donc p divise 1 donc p=1...

arf non je m'embrouille...

up svp, aidez-moi !!
et pour mon ps ?

Ok merci, je vais finir de réviser mon ds et essayer de remplir les ...

c'est bon j'ai compris merci !!

sinon avoir genre 5 points de moins en spé qu'en obligatoire (tout en restant au dessus de la moyenne, enfin j'espère) c'est déterminant à quel point pour une prépa ?

D'accord avec Rain', mais dans ce cas, il est inutile que p soit premier.

Si p est premier, il y a plus simple:

p divise ab, donc p divise a ou p divise b.
Si p divise a, comme il divise également a+b, il divise b.
Or a et b sont premiers entre eux, donc c'est absurde.
a+b et ab n'ont d'autre diviseur commun que 1.

Si p divise b, idem.

Pour ton PS:
* l'arithmétique, cela vient en en faisant. Tout le monde (ou presque) a des difficultés au début, mais ensuite, tout va bien.
* selon les lycées, la note de spé est ou non intégrée dans la note de maths. Donc la note de spé ne peut être essentielle pour la prépa.

Alors, rassuré?

Merci pour la 2dn solution, c'est plus celel que j'avais intuité sans arriver à la formuler.

Sinon c'est vrai je veux bien croire que ça vient en venant, ça va déjà mieux qu'en début d'année (un peu), dans mon lycée la spé est séparée sur le bulletin donc bon ça se voit quoi...

Rain' a écrit:Si p premier divise a+b et ab, alors il divise toute combinaison linéaire de a+b et de ab, en particulier il divise (a+b)*a + ab*(-1) = ... donc p divise ....
Mais de même il doit diviser (a+b)*b + ab*(-1) = .... donc p doit diviser .....
Or a et b sont premiers entre eux donc p=1.
Remplis les ....

emdro a écrit:Si p est premier, il y a plus simple:

p divise ab, donc p divise a ou p divise b.
Si p divise a, comme il divise également a+b, il divise b.
Or a et b sont premiers entre eux, donc c'est absurde.
a+b et ab n'ont d'autre diviseur commun que 1.

Si p divise b, idem.

Ok, deux preuves par l'absurde...
Je ne résiste pas à vous faire une preuve directe qui ressemble à la démo de Rain :zen:
Soit d un diviseur commun à et
d divise donc
d divise donc
donc d divise
donc d=1
conclusion :

Mais on voit la propriété générale suivante :
quels que soient les entiers a et b, divise , qui lui-même divise .

---------

L'intérêt de cette preuve est qu'elle s'applique dans le cadre général d'un anneau commutatif A, sans exiger l'existence d'élément premier, sous la forme :
(*) équivaut à (**)

(*) => (**) :
et
montre que
Or donc (en développant le binome)
donc .

(*) <= (*) : clair

En fait, on montre que :
quels que soient les éléments a,b, on a toujours