Démo spe maths

[sqrt]

Bonsoir,

on me demande de :

x étant un réel,
montrer qu'il existe un entier relatif n tel que:

bien sur cet encadrement définie la partie entière sans utiliser (puisque c'est ca définition....).

merci

[lapras]

Salut,
par récurrence peut être ?

[sqrt]

bonjour,

j'ai essayé mais ca ne m'a rien donné et en plus je suis plutot amateur de l'absurde ou des démo malicieuse....


mais enfin si ca existe par récurrence merci de me la présenter

[sqrt]

et de toutes facon il faudrait faire une récurrence dans R ?

[lapras]

la récurrence est impossible il me semble... :mur:

[lapras]

Et utiliser le fait que ls rationnels sont denses dans IR, cad tout réel est limite d'une suite de rationnels.

[sqrt]

tu veux utiliser le fait que Q est dans R, je ne vois pas très bien où sa mène en terme de suite...

:hum:

[lapras]

je veux utiliser le fait que IR est dense dans Q pour prouver qu'il existe un rationnel n tel que x<(n+1)

[sqrt]

je ne connais pas ces défintions y'aurait pas plus simple mais enfin si ta méthode marche ....

[lapras]

On m'a parlé de la densité des ensembles tres rapidement, j'en sais pas grand chose, donc je suis absolument pas sur que ca soit une méthode à exploiter

[Skullkid]

Petite coquille dans ton post, lapras ^^ (c'est qui est dense dans , pas le contraire). De toute façon, la notion de densité n'est pas au programme terminale il me semble.

Bref, ici je pense qu'on peut utiliser le fait que toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément.

[lapras]

mais skullkid la densité aurait permis de démontrer tout ca , nan ?

[sqrt]

c'est à dire....

on considère l'ensemble des entiers relatifs q tel que q soit un majorant de ]-oo;q] ?

[Skullkid]

mais skullkid la densité aurait permis de démontrer tout ca , nan ?

Peut-être, mais je suis pas vraiment (et même vraiment pas) expert là-dedans, donc je préfère pas m'avancer...mais par principe, la densité est un concept plus compliqué que les parties non vides de .

c'est à dire....

on considère l'ensemble des entiers relatifs q tel que q soit un majorant de ]-oo;q] ?

C'est pas très clair, prends simplement (ton x est fixé).

Sinon, je viens de vérifier, a priori dans le cours on a juste que toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément, pas de résultat sur , donc pour être parfaitement rigoureux, ou tu démontres que toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément, ou tu distingues les cas x positif et x négatif dans ta démonstration. Je te conseille plutôt la deuxième méthode.

[sqrt]

je vais réfléchior à cela

merci

[lapras]

skullkid,
il faudrait donc montrer que ton ensemble n'est pas vide pour tout x ?

[Skullkid]

Oui, en effet...bon c'est tellement habituel qu'un élève lambda ne le remarquerait pas, mais tu n'es pas l'élève lambda xD

Ça découle du fait que est archimédien, ie pour tous a,b réels il existe un entier naturel n tel que na > b. La démo que je connais est basée sur le théorème de la borne supérieure, dont je ne connais pas la démo xD (paraît qu'il est parfois considéré comme axiome).

Edit : ah non ! Je dis des conneries, pour le cas x positif, l'ensemble contient 0 donc il est non vide, et le cas x négatif se déduit du cas x positif.

[lapras]

le théoreme d'archimede n'est pas un axiome et sa démo est tres simple ( b(a+1)b>=a+1>a
donc il existe n tel que bn>a

Mais je ne vois pas à quoi cette propriété sert dans ce cas, à moins que tu n'admettes qu'il existe n tel que
xC'est vrai que ca semble évident

EDIT : j'ai vu ton édit, c'est vrai qu'en remarquant que 0 en fait partie, 'cest bien plus simple ! :++:

[Skullkid]

Pour l'axiome, je parlais du théorème de la borne sup, mais j'ai pas compris ta démo du thm d'Archimède, b(a+1) n'est pas un entier...enfin je suis un peu dans les vapes donc laissons ça là ^^