Recherche d'une fonction à partir d'indice

[liro]

Bonjour

J'ai un exercice à faire mais je suis bloqué.

a,b et c désignent des réels.
f est la fonction définie sur R par f(x)=ax^3+bx+c
C est la courbe représentant f dans un repère.
On sait que :
* A(1;0) appartient à la courbe C;
* f admet un minimum local en 1;
* |a|=1
Retrouver l'expression de f

Je sais que A appartient à C donc f(1)=0 et a+b+c=0. C'est tout :triste:

Si quelqu'un veut bien m'aider.
Merci

[Nightmare]

Salut.

f admet un minimum local en 1 implique que f'(1)=0, donc 3a+b=0. Comme c'est un minimum et que f est deux fois dérivable, cela implique aussi que f''(1) est négatif, ie 6a est négatif.

Comme |a|=1, cela nous donne la valeur de a, puis celle de b et pour finir celle de c.

:happy3:

[liro]

Je ne comprends pas trop...

f admet un minimum local en 1 implique que f'(1)=0 ==>ok
après je ne comprends plus la suite.

[liro]

ok j'ai un peu avancé :

f(1)=0 a+b+c=0
f'(1)=0 3a+b=0 donc b=-3a

Je remplace ce qui donne
a-3a+c=0 donc c=2a

Voilà je suis bloqué ici

[Finrod]

Quand tu as un extremum, tu peux savoir si c'est un minimum un maximum en regardant le signe de la dérivé seconde comme l'a indiqué nighmare.

En fait le signe de la dérivé seconde t'indique si le fonction est convexe ou concave en ce point.

Ici comme tu sais que c'est un minimum, la dérivé seconde est bien négative et comme elle vaut 6a, tu obtiens le signe de a.

pour info |a|=1 implique a=1 ou a=-1

[liro]

Mais pourquoi 6a ??

a= 1 ou -1 et b=-3a et c=2a
Donc je remplace :
donc pour la fonction c'est soit 1x^3-3x+2x ou -1x^3+3x-2x non ?
Je suis un peu dans le flou. Le but de l'exercice est de trouver l'expression de f pas le signe de a.
J'pense que j'ai rien compris :briques:
Merci

[Finrod]

La dérive seconde de la fonction f(x)=ax^3+bx+c vaut 6a. Tu dois savoir faire ce calcul.

Si a vaut 1 ou -1, le signe de a permet de savoir quelle valeur est la bonne. a positif implique a=1 et a négatif implique a=-1.

Le raisonnement par convexité, donne a positif donc c'est 1 et on trouve une seule solution.

IL semble que Nightmare est inversé, la dérivé seconde est positive pour un minimum.

Tu dois avoir ça dans ton cours : le signe de la dérivé seconde en un minimum ou en un maximum.

[Ben314]

Si tu n'as pas bien vu les dérivées secondes, tu peut aussi dire que, pour que x=1 soit un minimum local de f, il faut non seulement que f'(1)=0, mais aussi que f'(x) soit négative puis positive autour de 1.

Or f'(x)=3ax²+b, et le fait que f'(1)=0 dit que 3a+b=0 c'est à dire que b=-3a donc en fait f'(x)=3ax²-3a=3a(x²-1)=3a(x-1)(x+1).
Quel est le tableau de signe de f' si a0 ?
Lequel des deux donne un minimum en x=1 ?

[benekire2]

j'ai envie de dire qu'on se prend la tête ...
avec les infos f(1)=0 ; f'(1)=0 et |a|=1 on a plus que deux fonctions :
f(x)=x^3-3x+2 ou f(x)=-x^3+3x-2

et il suffit de tester l'une pour voir si elle admet ou non un minimum local et non un maximum local en 1.

[benekire2]

Si tu n'as pas bien vu les dérivées secondes, tu peut aussi dire que, pour que x=1 soit un minimum local de f, il faut non seulement que f'(1)=0, mais aussi que f'(x) soit négative puis positive autour de 1.

Or f'(x)=3ax²+b, et le fait que f'(1)=0 dit que 3a+b=0 c'est à dire que b=-3a donc en fait f'(x)=3ax²-3a=3a(x²-1)=3a(x-1)(x+1).
Quel est le tableau de signe de f' si a0 ?
Lequel des deux donne un minimum en x=1 ?

*

Grillé,
enfin, c'est presque la même chose :ptdr:

Bonjour tout le monde au passage.

[liro]

Est ce que c'est correct :

*Comme A(1;0) donc f(1)=0 et comme f admet un minimum local en 1 donc f'(1)=0.
* a=1 ou -1 mais comme la dérivé seconde de f(x) = ax^3+bx+c = 6a donc a est positif.

f(1)=a+b+c=0
f'(1)=3a*1²+b=0 donc b=-3a

ce qui fait f(1)= a-3a+c=0 donc c=2a

et comme a=1 donc f(x)= x^3-3x+2.

merci

[chofro]

hey dit moi tu serait pas en 1S3, a Cassin