Probabilités et suites

[boboss]

Bonjour à tous, j'ai un devoir sur un problème qui mèle les probabilités avec les suites, mais nous n'avons pas encore étudié les probabilités donc j'ai besoin de votre aide. merci

Un digicode est constitué des 10 chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et des deux lettres A et B. Un code se présente sous la forme cdXef où c, d, e, f sont des chiffres et X est une lettre. Par exemple: 12A12 est un code possible.

Un voleur met 2 secondes pour taper un code mais s'il se trompe une fois il doit attendre 1 seconde avant de pouvoir recommencer un nouvel essai. S'il se trompe une deuxieme fois il doit attendre 2 secondes. S'il se trompe trois fois il dois attendre 4 secondes et ainsi de suite, le temps d'attente doublant à chaque erreur.

Sachant qu'il ne peut se permettre de rester plus de 10 minutes devant le digicode sous peine d'être repéré, calculer la probabilité pour qu'il puisse commettre son méfait.

Indication: trouver le nombre de codes possibles, considérer la suite (Un) où n est le temps (en secondes) écoulé après le nème essai (par exemple U1=2) et trouver une relation entre Un et U(n-1)

[vincent.pantaloni]

Deja essaye de calculer les premieres valeurs de Un.
Tu peux trouver la relation de récurrence demandée mais comme il faut que n soit tel que Un soit inférieur à 600, tu verras que n ne peut pas depasser 9. Le calcul de l'expression de Un est inutile.
Il faut ensuite calculer la probabilité de trouver le code en un essai, puis en deux essais (sachant que le premier est éliminé si on considere que le voleur n'est pas un abruti), en 3 essais...etc jusqu'au 9e essai.
Pour compte le nombre de codes possibles tu peux essayer de dessiner un arbre (partiellement) Par exemple pour un code plus simple du type aX où a est un des 10 chiffres et X est A ou B, il y a 10 possibilités pour a et pour chacune des ces 10 possibilités il y a deux possibilités pour X. Ce qui fait 10x2=20 codes possibles.
Donc une chance sur 20 en un coup, plus une chance sur 19 (en deux coups)...etc.