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Vieux 14/01/2010, 18h28
eltis
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Messages: 1
Par défaut Pb géometrie plane d'un élève de 4ème

bonjour,
je vous demande votre avis sur un problème car j'ai bien une solution mais elle ne me paraît pas en adéquation avec le programme de quatrième...
(je suis assistant pédagogique)
Code:
Voilà:

On a un triangle ABC isocèle en A. Soit I le milieu de BC.
Prouvez que I est sur les deux cercles de diamètre AB et AC


Pour moi, j'aurai dit que A et I etant situé à égale distance de B et C, AI est mediatrice de BC
donc AI est perpendiculaire à BC et donc AIC et AIB sont deux triangles rectangle en I.
Un triangle rectangle étant inscriptible dans un demi cercle, A,I et C sont sur le cercle de diamètre AC.
Il en va de même dans le triangle AIB et donc I est bien sur les 2 cercles de diamètre AB et AC.

Par contre je trouve ca un peu long pour des 4 èmes, peut-etre y a t-il une methode plus rapide que je n'ai pas vue?

Merci de me répondre


eltis est déconnecté  
Vieux 14/01/2010, 18h45
Sve@r
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Sur Maths-Forum depuis: avril 2008
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Citation:
Posté par eltis
bonjour,
je vous demande votre avis sur un problème car j'ai bien une solution mais elle ne me paraît pas en adéquation avec le programme de quatrième...
(je suis assistant pédagogique)
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Voilà:

On a un triangle ABC isocèle en A. Soit I le milieu de BC.
Prouvez que I est sur les deux cercles de diamètre AB et AC


Pour moi, j'aurai dit que A et I etant situé à égale distance de B et C, AI est mediatrice de BC
donc AI est perpendiculaire à BC et donc AIC et AIB sont deux triangles rectangle en I.
Un triangle rectangle étant inscriptible dans un demi cercle, A,I et C sont sur le cercle de diamètre AC.
Il en va de même dans le triangle AIB et donc I est bien sur les 2 cercles de diamètre AB et AC.

Par contre je trouve ca un peu long pour des 4 èmes, peut-etre y a t-il une methode plus rapide que je n'ai pas vue?

Merci de me répondre


Salut

Ta démonstration est excellente sauf pour la partie en rouge où, personnellement, je préfèrerais la remplacer par la propriété qui dit que dans un triangle rectangle, un des cotés est diamètre du cercle circonscrit.
Mais ça veut dire la même chose et cette démo est tout à fait d'un niveau 4° qui connait les propriétés des triangles rectangles.

Maintenant moi j'en vois une autre mais pas vraiment plus courte: si on pose M et N les milieux de AB et AC, alors AI est perpendiculaire à MN et AI et Mn se coupent en leur milieu. on peut en déduire que AMIN est un losange donc AM=MI=AN=NI=MB=MC donc I sera forcément sur les cercles dont on parle.

On peut aussi dire que l'angle MIB est égal à l'angle MBI et l'angle NIC est égal à l'angle NCI donc MIB et NIC deux triangles isocèles en M et en N et comme MB=MA et NC=NA alors on retombe sur nos pattes.

Voilà. Je ne vois pas autre chose.
Sve@r est déconnecté  
Vieux 14/01/2010, 22h20
oscar
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Les triangles AIB et AIC sont deux triangles rectangles isometriques
circonscriptibles par les cercles de diamètres respectifs AB et AC
oscar est déconnecté  
Vieux 15/01/2010, 10h32
mathelot
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Bj,

ABC isocèle en A
I milieu de [BC]
J milieu de [AB]

la droite des milieux (IJ) est parallèle à (AC)
Avec le théorème de Thalès

\frac{IJ}{AC}=\frac{1}{2}<br />

mais AC=AB

Donc IJ=\frac{AB}{2}=AJ=BJ

I est donc sur le cercle de diamètre [AB]
et par symétrie sur le cercle de diamètre [AC]

Dernière modification par mathelot 15/01/2010 à 10h36.
mathelot est déconnecté  
Vieux 15/01/2010, 14h45
annick
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Bonjour,
j'aurais fait la même démonstration que toi, mais en simplifiant le départ.
En effet, il suffit de dire que dans un triangle isocèle la médiane et la hauteur sont confondues, donc [AI] hauteur et les triangles AIB et AIC sont donc rectangles en I
annick est déconnecté  
Vieux 15/01/2010, 16h33
Sve@r
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Citation:
Posté par mathelot
Bj,

ABC isocèle en A
I milieu de [BC]
J milieu de [AB]

la droite des milieux (IJ) est parallèle à (AC)
Avec le théorème de Thalès


Thalès en 4° ???
Sve@r est déconnecté  
Vieux 15/01/2010, 17h08
benekire2
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Sur Maths-Forum depuis: avril 2009
Localisation: Grenoble
Messages: 4 663
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Citation:
Posté par eltis
bonjour,
je vous demande votre avis sur un problème car j'ai bien une solution mais elle ne me paraît pas en adéquation avec le programme de quatrième...
(je suis assistant pédagogique)
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Voilà:

On a un triangle ABC isocèle en A. Soit I le milieu de BC.
Prouvez que I est sur les deux cercles de diamètre AB et AC


Pour moi, j'aurai dit que A et I etant situé à égale distance de B et C, AI est mediatrice de BC
donc AI est perpendiculaire à BC et donc AIC et AIB sont deux triangles rectangle en I.
Un triangle rectangle étant inscriptible dans un demi cercle, A,I et C sont sur le cercle de diamètre AC.
Il en va de même dans le triangle AIB et donc I est bien sur les 2 cercles de diamètre AB et AC.

Par contre je trouve ca un peu long pour des 4 èmes, peut-etre y a t-il une methode plus rapide que je n'ai pas vue?

Merci de me répondre


non c'est exactement cela je ne pense pas qu'il y ait de méthode plus directe étant donné que celle là l'est déjà pas mal ...
Peut être que c'était un exercice de rang plus complexe.
benekire2 est déconnecté  
Vieux 15/01/2010, 19h08
mathelot
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Sur Maths-Forum depuis: juin 2006
Messages: 5 574
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Citation:
Posté par Sve@r
Thalès en 4° ???


re,

j'ai demandé à des gosses de 4ème (région parisienne): ils connaissent
le théorème de Thalès mais pas le théorème de l'angle droit.
l'idéal serait une démonstration par les aires...
mathelot est déconnecté  
Vieux 15/01/2010, 19h09
Alaindu63
Membre Rationnel
 
Sur Maths-Forum depuis: octobre 2009
Messages: 144
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Oui, Thalès est enseigné dès la 4è
Alaindu63 est déconnecté  
Vieux 15/01/2010, 21h10
beagle
Membre Complexe
 
Sur Maths-Forum depuis: septembre 2009
Messages: 3 630
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Triangle AIB rectangle,
construisons le rectangle en entier.
Les diagonales de ce rectangle se coupent au milieu de AB
et les demies-diagonales sont de mème longueurs,
le cercle de centre milieu de AB = croisement des diagonales du rectangle
et de diamètre AB, ou rayon moitié de AB
ce cercle passe par les quatres coins du rectangle,
A, B, I, et on s'en fiche qu'a pas de nom
beagle est déconnecté  

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