Olympiade mathématique

par **M@thIsTheBest** » 25 Mar 2012, 15:42

Bonjour,
Je vais passer lolympiade mathématique dans 15 jours et au cours de la préparation j'ai trouvé un exercice que je veux vraiment savoir comment le résoudre: énoncé:
Trouver tous les fonctions qui vérifient: f(x)*f(y)*f(z)-f(xyz)=x+y+z
et merci.

par **M@thIsTheBest** » 25 Mar 2012, 17:00

Pas de réponses ?

par **MMu** » 25 Mar 2012, 19:06

M@thIsTheBest a écrit:Bonjour,
Je vais passer lolympiade mathématique dans 15 jours et au cours de la préparation j'ai trouvé un exercice que je veux vraiment savoir comment le résoudre: énoncé:
Trouver tous les fonctions qui vérifient: f(x)*f(y)*f(z)-f(xyz)=x+y+z
et merci.

En toute rigueur il faut indiquer les ensembles mis en jeu par la fonction . Any way..
Je vais supposer que

(réels).

.
Je te laisse montrer que

ne satisfait pas, donc il reste

.

En prenant

je te laisse montrer la contradiction, donc pas de solution à l'équation fonctionnelle.
:zen:

par **M@thIsTheBest** » 25 Mar 2012, 19:19

MMu a écrit:En toute rigueur il faut indiquer les ensembles mis en jeu par la fonction . Any way..
Je vais supposer que (réels). .
Je te laisse montrer que ne satisfait pas, donc il reste .

En prenant je te laisse montrer la contradiction, donc pas de solution à l'équation fonctionnelle.
:zen:

Bon, oui c'est vrai je dois indiquer les ensembles:

de plus j'ai une autre remarque "pas de fonctions constantes" ça fais parti de l'énoncé mais, bon, j'ai oublié de les indiquer.Et pourquoi f(0)=0 ne satisfait pas ? de plus je pense qu'il existe des solutions...je vais essayer encore de résoudre le problème..

par **MMu** » 25 Mar 2012, 19:39

M@thIsTheBest a écrit:Bon, oui c'est vrai je dois indiquer les ensembles: de plus j'ai une autre remarque "pas de fonctions constantes" ça fais parti de l'énoncé mais, bon, j'ai oublié de les indiquer.Et pourquoi f(0)=0 ne satisfait pas ? de plus je pense qu'il existe des solutions...je vais essayer encore de résoudre le problème..

Supposons

.

(contradiction)
(Réflexion faite , je me demande si tu ne t'es pas trompé dans ton énoncé

)...
:zen:

par **M@thIsTheBest** » 25 Mar 2012, 19:52

[quote="MMu"]Supposons

.

(contradiction)
(Réflexion faite , je me demande si tu ne t'es pas trompé dans ton énoncé

)...
:zen:
Bon,c'est toi qui s'es trompé :happy2: comment f(x)f^2(0)-f(0)=x implique f(x)=x-f(0), je pense que f(x)f^2(0)-f(0)=x implique f(x)=x+f(0) non ? :zen:

par **MMu** » 25 Mar 2012, 20:17

M@thIsTheBest a écrit:
MMu a écrit:Supposons . (contradiction)
(Réflexion faite , je me demande si tu ne t'es pas trompé dans ton énoncé )...
:zen:
Bon,c'est toi qui s'es trompé :happy2: comment f(x)f^2(0)-f(0)=x implique f(x)=x-f(0), je pense que f(x)f^2(0)-f(0)=x implique f(x)=x+f(0) non ? :zen:

Mea culpa, erreur de signe, ma vue baisse visiblement .. mais la conclusion finale ne change pas !
On a donc

. Rappelons que

.
On fait

donc

d'ou la contradiction

Donc pas de solution .. Do you follow me ?
:zen:

par **M@thIsTheBest** » 25 Mar 2012, 20:29

MMu a écrit:
M@thIsTheBest a écrit:Mea culpa, erreur de signe, ma vue baisse visiblement .. mais la conclusion finale ne change pas !
On a donc . Rappelons que .
On fait donc d'ou la contradiction
Donc pas de solution .. Do you follow me ?
:zen:

Bon juste un autre petit question:comment tu as déduit de si f(x)=x+f(0) alors f(-f(0))=0 c'est comme
[(f)°(-f)](0)=0 non?je veux savoir comment s'est fait ce passage?

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