Olympiade Mathématique: Géométrie

[M@thIsTheBest]

Bonjour,
Voilà l'exercice:
Soit un quadrilatère ABCD convexe inscriptible. On désigne par (Y) le cercle de centre O et de rayon R, inscrit dans le quadrilatère ABCD, tangent à (AB) en E et à (CD) en F.
Montrer que AE.CF=BE.DF .

[MMu]

Bonjour,
Voilà l'exercice:
Soit un quadrilatère ABCD convexe inscriptible. On désigne par (Y) le cercle de centre O et de rayon R, inscrit dans le quadrilatère ABCD, tangent à (AB) en E et à (CD) en F.
Montrer que AE.CF=BE.DF .

Le cercle inscrit dans le quadrilatère touche en , en, en , en .
On a donc
Le quadrilatère est inscriptible donc .
D'autre part , dans les quadrilatères et , on a
Il s'ensuit
On déduit les triangles isocèles semblables :


On a alors
De façon analogue, en considérant les sommets on obtient , d'où le résultat demandé.

[M@thIsTheBest]

pourquoi AE=AH,BE=BG,CG=CF,DF=DH ?

[M@thIsTheBest]

Pourquoi l'angle (A)+(EOH)=pi.. même question pour les autres angles...

[MMu]

De plus pourquoi l'angle (A)+(EOH)=pi.. même question pour les autres angles... les quadrilatères sont AEHO et CFGO (pas AEOH et CFOG car [AH] et [CG] sont des diagonales )

Fais un dessin et tu comprendras ...
ne sont pas des diagonales mais des tangentes partant de et
C'est pour cela que .. j'arrête là :zen:

[M@thIsTheBest]

Tangentes à quoi ?

[M@thIsTheBest]

Tu veux dire que AEOH est un quadrilatère croisé ?

[M@thIsTheBest]

votre figure n'est pas convenable à l'énoncé..

[M@thIsTheBest]

Fais un dessin et tu comprendras ...
ne sont pas des diagonales mais des tangentes partant de et
C'est pour cela que .. j'arrête là :zen:

Je respecte bien ta raisonnement, mais tu as fait une petite faute qui rend la figure inadéquat à la démonstration proposée : c'est que le cercle touche [AD] en H et [Bc] en G (non pas l'inverse)...mais bon merci , cette démonstration suffit pour moi...

[coote]

desole mais le cercle inscrit est par donne tangent seulement avec deux cotes !!!