Matrice stochastique régulière et point fixe

[AntoineGael]

Bonjour à tous,

Dans le cadre d'un cours de recherche opérationnelle au CNAM nous étudions les chaînes de Markov.
Avant de nous atteler aux chaînes elles-mêmes nous en sommes aux matrices stochastiques.
Tout va bien jusqu'à une démonstration à faire sur laquelle je bloque...

Voici les éléments dont je dispose :

Définitions :
Un vecteur stochastique est un vecteur dont les éléments sont positifs et dont la somme est égale à 1.
Une matrice stochastique est une matrice dont les lignes sont des vecteurs stochastiques.
Si G est une matrice stochastique, alors on appelle vecteur fixe pour G un vecteur h tel que : hG = h

Théorème 1 :
Une matrice de probabilité stochastique P est régulière si :
Tous les éléments de P^m sont strictements positifs quand m est un entier naturel strictement positif.

Théorème 2 :
Si une matrice stochastique P est régulière alors on peut trouver un vecteur t tel que :
tP = t

Par ailleurs on a prouvé que :
Si p = (p1 p2 ... pn) est un vecteur de probabilité et que T est une matrice dont chaque ligne est un vecteur t = (t1 t2 ... tn)
Alors pT = t

Exercice :
Si t = (1/4 0 1/2 1/4 0) est un point fixe d'une matrice stochastique, pourquoi P n'est elle pas régulière ?

J'ai beau retourner dans tous les sens, je vois pas comment faire.
Il n'est pas impossible qu'il me manque certains éléments dans les définitions et théorèmes.
A priori, il faut partir de ce qu'on a prouvé précédemment (pT = t)

Merci d'avance pour votre aide.

Antoine

[Maxmau]

Bonjour à tous,

Dans le cadre d'un cours de recherche opérationnelle au CNAM nous étudions les chaînes de Markov.
Avant de nous atteler aux chaînes elles-mêmes nous en sommes aux matrices stochastiques.
Tout va bien jusqu'à une démonstration à faire sur laquelle je bloque...

Voici les éléments dont je dispose :

Définitions :
Un vecteur stochastique est un vecteur dont les éléments sont positifs et dont la somme est égale à 1.
Une matrice stochastique est une matrice dont les lignes sont des vecteurs stochastiques.
Si G est une matrice stochastique, alors on appelle vecteur fixe pour G un vecteur h tel que : hG = h

Théorème 1 :
Une matrice de probabilité stochastique P est régulière si :
Tous les éléments de P^m sont strictements positifs quand m est un entier naturel strictement positif.

Théorème 2 :
Si une matrice stochastique P est régulière alors on peut trouver un vecteur t tel que :
tP = t

Par ailleurs on a prouvé que :
Si p = (p1 p2 ... pn) est un vecteur de probabilité et que T est une matrice dont chaque ligne est un vecteur t = (t1 t2 ... tn)
Alors pT = t

Exercice :
Si t = (1/4 0 1/2 1/4 0) est un point fixe d'une matrice stochastique, pourquoi P n'est elle pas régulière ?

J'ai beau retourner dans tous les sens, je vois pas comment faire.
Il n'est pas impossible qu'il me manque certains éléments dans les définitions et théorèmes.
A priori, il faut partir de ce qu'on a prouvé précédemment (pT = t)

Merci d'avance pour votre aide.

Antoine

Bj
Si P était régulière, il existerait un entier m tq tous les éléments de P^m > 0
d'autre part tP=t donc aussi tP^m = t et t possède une coordonnée nulle et une non nulle
vois tu la contradiction ?

[AntoineGael]

Je pensais avoir saisi mais quelque chose m'échappe toujours...
P est régulière, donc P^m voit tous ses éléments > 0.
Mais ça ne signifie pas pour autant que les éléments de P sont > 0, non ?

Auquel cas, pour la formule tP = t, il n'y a pas de contradiction avec le vecteur (1/4 0 1/2 1/4 0)...

Certes, si T=P^m avec tous les éléments de T > 0, ça fonctionne, il y a bien contradiction, mais on parle de la matrice d'origine P, pas de celle montée à la puissance m.

Si je n'ai pas saisi ton explication peux tu me la détailler au maximum ?

[Maxmau]

Je pensais avoir saisi mais quelque chose m'échappe toujours...
P est régulière, donc P^m voit tous ses éléments > 0.
Mais ça ne signifie pas pour autant que les éléments de P sont > 0, non ?

Auquel cas, pour la formule tP = t, il n'y a pas de contradiction avec le vecteur (1/4 0 1/2 1/4 0)...

Certes, si T=P^m avec tous les éléments de T > 0, ça fonctionne, il y a bien contradiction, mais on parle de la matrice d'origine P, pas de celle montée à la puissance m.

Si je n'ai pas saisi ton explication peux tu me la détailler au maximum ?

dire qu'une matrice stochastique est régulière signifie qu'il existe un entier m tq les coeff de P^m soient tous strictement positifs mais ça peut ne pas être le cas pour les autres puissances inférieures.
par exemple si m=2 tous les coeff de P² sont > 0 mais certains coeff de P peuvent être nuls. On peut alors avoir tP =P mais on n'aura jamais tP² =t avec le t de l'exo.

je répète mon raisonnement par l'absurde:
Si P était régulière, il existerait un entier m tq tous les éléments de P^m > 0
or l'hypothèse implique tP^m = t ce qui est impossible avec des coeff de P^m tous >0.

[AntoineGael]

dire qu'une matrice stochastique est régulière signifie qu'il existe un entier m tq les coeff de P^m soient tous strictement positifs mais ça peut ne pas être le cas pour les autres puissances inférieures.
par exemple si m=2 tous les coeff de P² sont > 0 mais certains coeff de P peuvent être nuls. On peut alors avoir tP =P mais on n'aura jamais tP² =t avec le t de l'exo.

Là je suis totalement d'accord, j'ai bien compris.

je répète mon raisonnement par l'absurde:
Si P était régulière, il existerait un entier m tq tous les éléments de P^m > 0
or l'hypothèse implique tP^m = t ce qui est impossible avec des coeff de P^m tous >0.

Je ne comprends pas le "or l'hypothèse implique tP^m = t"...
Ma définition dit :
Si P est une matrice régulière alors il existe un vecteur t tel que tP=t.

Il me manquerait "et tP^m=t (même vecteur t)" ?
Autrement dit, le vecteur fixe d'une matrice P est le même pour toutes les matrices P^m ?

[Maxmau]

Là je suis totalement d'accord, j'ai bien compris.

Je ne comprends pas le "or l'hypothèse implique tP^m = t"...
Ma définition dit :
Si P est une matrice régulière alors il existe un vecteur t tel que tP=t.

Il me manquerait "et tP^m=t (même vecteur t)" ?
Autrement dit, le vecteur fixe d'une matrice P est le même pour toutes les matrices P^m ?

dans l'exo l'hypothèse dit que t est point fixe de P donc: tP=t
d'où: tP² = tP = t puis tP^3 =tP = t ..etc... tP^k = t pour tout k

[Maxmau]

dans l'exo l'hypothèse dit que t est point fixe de P donc: tP=t
d'où: tP² = tP = t puis tP^3 =tP = t ..etc... tP^k = t pour tout k

comme j'ai l'impression que ça tourne en rond, je reprécise mon raisonnement:

Pour résoudre l’exo j’utilise la propriété suivante:
Une matrice stochastique P est dite régulière lorsqu’il existe un entier naturel m tel que tous les coeff de P^m soient strictement positifs
Dans l’exo on donne une matrice stochastique P admettant
t = (¼ , 0 , ½ , ¼ , 0) comme vecteur fixe d’où tP=t et par suite aussi tP^k = t pour tout k entier naturel
Aucune des matrices P^k ne peut avoir tous ses coeff > 0 sinon toutes les coordonnées de tP^k seraient > 0 ce qui est en contradiction avec l’égalité tP^k = t
Conclusion : P n’est pas régulière

[AntoineGael]

dans l'exo l'hypothèse dit que t est point fixe de P donc: tP=t
d'où: tP² = tP = t puis tP^3 =tP = t ..etc... tP^k = t pour tout k

J'AI COMPRIS !!! ALLELUIA !!! MERCI !!!
Voilà donc ce qui me manquait : tP=t, donc (tP)P = tP = t
Donc effectivement tP^m=t, donc le t=(1/4 0 1/2 1/4 0) ne peut être le vecteur fixe d'une matrice régulière P
C'était pourtant pas compliqué à trouver

Encore merci.

Juste par pure curiosité, peut-on démontrer la même chose ie le vecteur (¼ 0 ½ ¼ 0) ne peut être le vecteur fixe d'une matrice régulière, en utilisant ceci :
Par ailleurs on a prouvé que :
Si p = (p1 p2 ... pn) est un vecteur de probabilité et que T est une matrice dont chaque ligne est un vecteur t = (t1 t2 ... tn)
Alors pT = t

Je demande parce que mon prof est parti de là, mais ses explications étaient pour le moins nébuleuses.

[Maxmau]

J'AI COMPRIS !!! ALLELUIA !!! MERCI !!!
Voilà donc ce qui me manquait : tP=t, donc (tP)P = tP = t
Donc effectivement tP^m=t, donc le t=(1/4 0 1/2 1/4 0) ne peut être le vecteur fixe d'une matrice régulière P
C'était pourtant pas compliqué à trouver

Encore merci.

Juste par pure curiosité, peut-on démontrer la même chose ie le vecteur (¼ 0 ½ ¼ 0) ne peut être le vecteur fixe d'une matrice régulière, en utilisant ceci :
Par ailleurs on a prouvé que :
Si p = (p1 p2 ... pn) est un vecteur de probabilité et que T est une matrice dont chaque ligne est un vecteur t = (t1 t2 ... tn)
Alors pT = t

Je demande parce que mon prof est parti de là, mais ses explications étaient pour le moins nébuleuses.

désolé mais je ne vois pas (ce qui ne veut pas dire que ce ne soit pas possible)

[AntoineGael]

Pas grave, merci beaucoup et encore pour votre aide...