Matrice stochastique

[ilikoko123]

salut :) je vous propose un exercice qui me parait délicat
soit une matrice A reelle de taille n telle que la somme pour i fixé des aij = 1 (stochastique comme vous savez), de coefficients tous STRICTEMENT positifs, montrer que si lambda est une valeur propre complexe de A alors |lambda|=1 implique lambda=1

[MouLou]

coefficients positifs ou pas?

[ilikoko123]

coefficients tous strictement positifs :p

[ilikoko123]

dans la première question il y a : mq pour toute valeur propre lambda on a |lambda|<(ou égale) 1 (les coefficient dans la première question sont justes positifs) , pour cette question pas de soucis
la deuxième suppose la positivité stricte des coefficients et demande l'implication :p

[ilikoko123]

personne ne peut me donner une piste ?

[MouLou]

J'ai un peu de mal la :)

[ilikoko123]

Heuh je suis conscient d'une difficulté majeure dans cet exercice :D

[Robot]

Heuh je suis conscient d'une difficulté majeure dans cet exercice

Soit une valeur propre de module 1, et soit un vecteur propre (non nul) de valeur propre associée . Soit tel que est maximum parmi les modules des coordonnées de .
1°) Montrer que .
2°) En déduire que toutes les coordonnées de sont égales, et conclure.

PS : ai-je besoin d'ajouter l'indice : cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire ?

[ilikoko123]

voilà je ne maitrise pas vraiment ce "latex" (j'entend par t : lambda) , le terme à gauche est inférieur à celui à droite ce qui nous fourni une première inégalité
en outre le terme à gauche est égale à |t.vio|=|vio|=|vio|x(la somme des aio,j)>terme à droite
ce qui nous fournie la deuxième inégalité
pour le 2) je pense que le cas de l'égalité nous donne le fait que les vi ont le même argument c'est tout, ça ne nous donne pas l'égalité des vi , cependant :we: l'égalité des argument permet d'obtenir le résultat en simplifiant pas exp(i.arg) dans l'égalité qui traduit le fait que t est valeur propre, il ne reste donc que les modules et on conclue par (1) que t=1
j'apprécie cette approche merci