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Vieux 06/03/2008, 18h09
log86
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Par défaut matrice d'une rotation

Bonsoir j'aurais besoin d'un peu d'aide pour comprendre mon cours sur les isométries affines s'il vous plait. Et plus particulièrement sur les matrices des rotations s'il vous plait.
Dans mon cours il est écrit que si \vec{f } est une rotation vectorielle alors il existe une base orthonormée
( \vec{i}, \vec{j},\vec{k}) dans laquelle \vec{f }s'écrit:
\( \array{1&0&0\\0&cos w&-sin(w)\\0&sin(w)&cos w}\)

Puis dans un exercice après, on me dit que E est un espace affine muni d'un repère orthonormé direct R=(O, \vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e3})
On considère le point I de coordonnées (1,0,0) et ses images J et K par les rotations d'axe (O, \vec{e3}), orienté dans le sens de  \vec{e3} et d'angle \frac{2\pi}{3} et \frac{4\pi}{3} respectivement
Je dois déterminer les coordonnées de J et de K
Et dans la correction ils disent que les matrices associées dans la base ( \vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e3}) sont de la forme
\( \array{0&cos wi&-sin(wi)\\0&sin(wi)&cos wi\\0&0&1}\)
je comprends pas pourquoi on l'écrit dans ce sens ...dans mon cours on ne parle pas du tout de l'axe donc je ne vois pas pourquoi je ne peux pas l'écrire comme la première...
Pourriez vous m'aidez à comprendre s'il vous plait?
merci


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Vieux 06/03/2008, 18h36
nuage
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Salut,
Citation:
Posté par log86
Et dans la correction ils disent que les matrices associées dans la base ( \vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e3}) sont de la forme
\( \array{0&cos wi&-sin(wi)\\0&sin(wi)&cos wi\\0&0&1}\)
je comprends pas pourquoi on l'écrit dans ce sens ...dans mon cours on ne parle pas du tout de l'axe

Je crois que la matrice que l'on te donne est :
\( \array{\cos w_i&-\sin w_i&0\\ \sin w_i&\cos w_i&0\\0&0&1}\)
Comme ta semble le deviner la forme de la matrice dépend de l'axe de la rotation.
Dans ton 1° exemple l'axe est \vec{i} (il est facile de vérifier que ce vecteur est fixe).
Dans le 2° c'est  \vec{e3} est il est également facile de vérivier qu'il est invariant.
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Vieux 06/03/2008, 18h56
log86
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Bonsoir d'abord merci pour ta réponse
Oui tu as tout à fait raison je me suis trompé pour la matrice...pardon
donc en fait si c'est par rapport à l'axe \vec(i) je met la 1ère matrice, si c'est par rapport à l'axe  \vec(k) je met la matrice proposée dans l'exo et si c'est l'axe  \vec(j) je met :
\( \array{\cos w_i&0&-\sin w_i\\\sin w_i&1&\cos w_i\\0&0&0}\) ?
et si c'est dans le sens indirect de \vec(e3) je dois mettre quoi?
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Vieux 06/03/2008, 20h08
nuage
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oui pour ta 1° question.
Pour la deuxième il suffit de remplacer \omega par {}-\omega
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Vieux 07/03/2008, 00h00
ffpower
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pour l axe j:le 1 est en bas(ya pas de lignes ou de colonnes de 0)
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Vieux 07/03/2008, 06h33
log86
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Bonjour merci pour vos réponses; si çà ne vous dérange pas je vais récapituler ce que j'ai compris. Pourriez vous me dire si c'est exact s'il vous plait?
si c'est par rapport à l'axe \vec{i}
\( \array{1&0&0\\0&cos w&-sin(w)\\0&sin(w)&cos w}\)

si c'est par rapport à l'axe \vec{j} je met :
\( \array{\cos w_i&0&-\sin w_i\\\sin w_i&1&\cos w_i\\0&0&0}\)

si c'est par rapport à l'axe\vec{k}
\( \array{\cos w_i&-\sin w_i&0\\ \sin w_i&\cos w_i&0\\0&0&1}\)

Et si c'est par rapport à l'axe \vec{i} , \vec{j}, \vec{k}dans le sens indirect je met les mêmes matrices en remplacant w par -w

Si c'est bien çà s'il vous plait ,est ce que
\( \array{-1&0&0\\0&cos w&-sin(w)\\0&sin(w)&cos w}\)
représent la matrice d'une rotation? parce que personnellement c'est ce que j'aurais écrit pour le sens indirect.
Merci
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Vieux 07/03/2008, 09h04
flight
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salut,

on te demande les coordonnées de I dans un nouveau repère, obtenu lui même par rotation du repère initial formé de la base orthonormale , ce pour un angle de 2.pi/3 et 4.pi/3

il s'agit dabord simplement de fournir l'expression des composantes des vecteurs de la nouvelle base (B') en fonction de la base orthonormée (B), considérons une rotation du nouveau repère d'angle "alpha" selon (O,e3) et appelons (O,e1',e2',e3') la nouvelle base obtenue par rotation .
avec un petit dessin à appui , on vois immédiatement que

e1'= cos(alpha)e1+sin(alpha)e2+0.e3
e2'=-sin(alpha)e1+cos(alpha)e2+0e3
e3'= e3.

donc si un vecteur s'ecrit sous la forme V=ae1+be2+ce3 , pour l'exprimer dans la nouvelle base (B') il va falloir exprimer tout les ei fonction des ei'.
soit écrire que e1=a'e1'+b'e2'+c'e3'.
e2=se1'+ue2'+ve3'.
e3=ke1'+pe2'+we3'.
cela revient à inverser la matrice précédente ou déterminer aussi directement à partir d'un petit dessin les ei en fonction des ei'.

en terme d'écriture matricielle si X est un vecteur dans B et X' un vecteur dans B' alors alors X(B)=P (B vers B').X(B') , ou P (B vers B') est la matrice de passage de B vers B' ( ou matrice des composante de B' dans B)

j'espere que tout cela pourra t'aider.
flight est déconnecté  
Vieux 07/03/2008, 10h37
log86
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Bonjour flight merci pour tes explications, je vais étudier tout çà .
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Vieux 07/03/2008, 18h35
nuage
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Citation:
Posté par log86
Et si c'est par rapport à l'axe \vec{i} , \vec{j}, \vec{k}dans le sens indirect je met les mêmes matrices en remplacant w par -w

oui
Citation:
Posté par log86
Si c'est bien çà s'il vous plait ,est ce que
\( \array{-1&0&0\\0&cos w&-sin(w)\\0&sin(w)&cos w}\)
représent la matrice d'une rotation? parce que personnellement c'est ce que j'aurais écrit pour le sens indirect.
Merci

par contre ça c'est faux. On peut par exemple facilement vérifier que le déterminant est -1 ce qui est embêtant pour une rotation.
En remplaçant \omega par {}-\omega on a :
\( \array{1&0&0\\0&\cos \omega&\sin\omega\\0&-\sin\omega&\cos \omega}\)
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Vieux 07/03/2008, 21h32
Babcool
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Attention,pour la matrice que tu donnes ici, il me semble que les cos et le sinus sont mal placés :
\( \array{\cos w_i &0&-\sin w_i\\\sin w_i&1&\cos w_i\\0&0&0}\)

Le 1 doit etre tout seul sur sa ligne et sa colonne (enfin, si quelqu'un peut confirmer) car l'axe de rotation est toujours invariant par cette rotation...


\( \array{\cos w_i&0&-\sin w_i\\0&1&0\\\sin w_i&0&\cos w_i\)
me semble mieux...
Babcool est déconnecté  
Vieux 07/03/2008, 22h27
nuage
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C'est bien vrai.
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Vieux 08/03/2008, 08h52
log86
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Bonjour merci à tous pour vos réponses
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Vieux 08/03/2008, 13h46
log86
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Je vais me ridiculiser mais bon... pourriez vous m'expliquer comment ,à l'aide d'un dessin,lorsque je fais une rotation d'axe e3 et d'angle alpha,je trouve que
e1'= cos(alpha)e1+sin(alpha)e2+0.e3
e2'=-sin(alpha)e1+cos(alpha)e2+0e3
e3'= e3. ( celui là je comprends...)
On utilise quoi?le produit scalaire, les triangles rectangles...je m'enfonce peut être..
pourriez vous m'expliquer sil vous plait, merci
log86 est déconnecté  

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