Rotation

[laetidom]

Bonjour,

Je cherche à démontrer sans succès la relation suivante :


l'image de (x;y) par la rotation d'angle alpha et de centre (0,0) est le point (x',y') où

[B]x' = x.cos (alpha) - y.sin (alpha)

y' = x. sin (alpha) + y.cos (alpha)[/B]


Pouvez-vous m'aider à démarrer ?

Merci à vous, bonne après-midi

[bolza]

Bonjour,

Essayez de travailler d'abord en coordonné polaire

[laetidom]

Bonjour,

Essayez de travailler d'abord en coordonné polaire

Bonjour,

ah oui effectivement je n'avais pas pensé à ça ! merci, je regarde...

[capitaine nuggets]

Tu peux également raisonner via les nombres complexes (si tu les as vu).
Soit l'affixe d'un point du plan et la rotation de centre d'affixe et d'angle .
Alors un point d'affixe est l'image du point par la rotation si et seulement si .
En distinguant partie réelle et partie imaginaire, tu en déduis et en fonction de et :+++:

[laetidom]

Tu peux également raisonner via les nombres complexes (si tu les as vu).
Soit l'affixe d'un point du plan et la rotation de centre d'affixe et d'angle .
Alors un point d'affixe est l'image du point par la rotation si et seulement si .
En distinguant partie réelle et partie imaginaire, tu en déduis et en fonction de et :+++:

Merci capitaine nuggets mais étant donné que je ne maitrise pas les complexes je vais essayer par d'autres biais, merci

[laetidom]

Bonjour à tous,

J'ai cherché comme il fallait et je viens de trouver la démonstration uniquement avec des relations trigonométriques, je suis content, merci à tous pour vos idées !
http://www.cjoint.com/c/EHsirbM1wkf

Bonne journée

[Black Jack]

X = L.cos(beta)
Y = L.sin(beta)
X' = L.cos(alpha+beta)
Y' = L.sin(alpha+beta)

X' = L.cos(alpha+beta) = L * (cos(alpha).cos(beta) - sin(alpha).cos(beta))
X' = L * cos(alpha).cos(beta) - L * sin(alpha).cos(beta)
X' = X.cos(alpha) - Y.sin(alpha)

Y' = L.sin(alpha+beta) = L * (sin(alpha).cos(beta) + cos(alpha).sin(beta))
Y' = L * sin(alpha).cos(beta) + L * cos(alpha).sin(beta))
Y' = X.sin(alpha) + Y.cos(alpha)

:zen:

[laetidom]

Super !, merci Black Jack !, schéma très propre, limpide !, ça me parle ! bonne journée

et en plus les calculs, déductions sont instantanés (excellent !), M E R C I . . .

[laetidom]

X = L.cos(beta)
Y = L.sin(beta)
X' = L.cos(alpha+beta)
Y' = L.sin(alpha+beta)

X' = L.cos(alpha+beta) = L * (cos(alpha).cos(beta) - sin(alpha).cos(beta))
X' = L * cos(alpha).cos(beta) - L * sin(alpha).cos(beta)
X' = X.cos(alpha) - Y.sin(alpha)

Y' = L.sin(alpha+beta) = L * (sin(alpha).cos(beta) + cos(alpha).sin(beta))
Y' = L * sin(alpha).cos(beta) + L * cos(alpha).sin(beta))
Y' = X.sin(alpha) + Y.cos(alpha)

:zen:

Bonjour Black Jack ainsi que tous les autres internautes,


Je maitrise bien les formules dans ce quadrant (les x>0 et les y>0 et alpha permettant de passer de M à M' dans le sens trigo),

j'aimerais maintenant pouvoir trouver les coordonnées de n'importe quel point, quelque soit le quadrant dans lequel on se trouve (x>0 ; y>0) ; (x0) ; (x0 ; y0 ou <0 aux x et/ou aux y tout en sachant que l'origine du repère du schéma de Black Jack se situe quelque part dans un autre repère, et que je souhaite trouver les coordonnées dans ce dernier......


Un exemple : http://www.cjoint.com/c/EIfplBw75vf

dans mon exemple, le repère que j'ai tracé en haut correspondrait au repère de Black Jack qui se trouve bien dans un autre repère général dans lequel je souhaite trouver les coordonnées de A,

numériquement dans mon exemple :

je connais C(5.52 ; 5.97) , B(9;4) , CA=5 et CB=4, angle C = 66.46°

je fais x'=xA = x.cos(alpha) - y.sin(alpha) = (9-5.52)cos(-66.46°) - (5.97-4)sin(-66.46°) = 3.19....

je fais une rotation en augmentant la distance donc je dois appliquer un coeff multiplicateur = 5/4 = 1.25

donc 3.19 x 1.25 = 3.9949.....et je sais par Géogebra que l'abscisse de A soit x' = 5


Ou ai-je fais une erreur ? ? ? ? ? .......MERCI pour votre aide ! ! !