Optimisation de distance

[Grizet]

Bonjour, voici un problème mathématique assez difficile.

Soit une droite, et 2 points d'un même côté de la droite. Si on part d'un point, qu'on doit toucher le droite et qu'on doit arriver ensuite sur le 2ème point. Quel est la méthode pour parcourir le plus court chemin ? (Le trajet se fait de façon rectiligne)

J'ai une intuition : les 2 segments doivent former un angle droit. Mais pour le prouver ...
Merci de vos réponses !

[chan79]

Bonjour, voici un problème mathématique assez difficile.

Soit une droite, et 2 points d'un même côté de la droite. Si on part d'un point, qu'on doit toucher le droite et qu'on doit arriver ensuite sur le 2ème point. Quel est la méthode pour parcourir le plus court chemin ? (Le trajet se fait de façon rectiligne)

J'ai une intuition : les 2 segments doivent former un angle droit. Mais pour le prouver ...
Merci de vos réponses !

salut
Pense à la symétrie axiale

[Grizet]

Je trouve le point par la symétrie orthogonale d'axe d (la droite) mais où veux-tu en venir ?

[chan79]

Je trouve le point par la symétrie orthogonale d'axe d (la droite) mais où veux-tu en venir ?

Quel est le trajet qui a la même longueur que le trajet rouge ?

[Grizet]

Un trajet réel ? Euh ..si on intervertit bm et am ce sera la même distance ...

[chan79]

MB= ?

[Grizet]

MB=MB'

[chan79]

donc AM+MB= ?

[Grizet]

Donc AM + MB = AM + M'B

[Razes]

Ce matin, quand j'ai vu le sujet, j'avais préparé une réponse mais ayant vu la réponse Message par chan79 » 31 Aoû 2016 09:22, je me suis dis, ce n'était plus la peine, car c'était une très bonne réponse qui pouvait te mettre sur la voie.

Mais là, je vois que cela continue. Le plus court chemin est vraiment très simple. Imagine que que tu es le point et que tu veux voir le point à travers un miroir qui est la droite (ceci étant en 2D, on n'utilise pas la 3ème dimension)

Naturellement la lumière parcours le plus court chemin. Quand tu regarde un miroir tu a l'impression que le point est à l’intérieur du miroir qui correspond à le symétrique de par rapport à la droite . Donc la distance du au point par rebondissement sur la droite correspond à la distance

Pour ce qui est des formules de calcul, c'est très facile, une fois tu as les données.

En principe ceci est un exercice d'optique (réflexion sur un miroir)

J'espère que c'est clair?

syme.jpg (11.74 Kio) Vu 828 fois

[Grizet]

Donc, en résumant :
- il y a une astuce : tracer un des 2 points par symétrie orthogonale d'axe d.
- ainsi, on sait que le pas court chemin entre 2 points c'est la droite => tracer cette droite
- on a le point tant cherché, il ne reste plus qu'a tracer le trajet en entier.

Si c'est bon, alors ça j'ai compris. Mais ce que je n'ai pas compris, c'est " pourquoi une symétrie orthogonale" , ça aurait pu être une rotation de 45° (la solution serait fausse, mais je ne comprends pas comment tu te dis, mhmm pour résoudre ce problème c'est sur il faut trouver limage d'un des 2 points par symétrie orthogonale ! )

[Razes]

C'est ça.

[Razes]

Pourquoi 45? Pourquoi pas 50 ou 70? Pourquoi ce choix?

La symétrie orthogonale conserve la distance

[Razes]

Ce qu'on cherche est le point .

Quelque soit le point que tu va choisir, tu obligatoirement .

Ce qui nous importe est que la distance soit minimale, c'est à dire que la distance soit minimale. Le seul cas de figure est que les points soient alignés.

[Grizet]

Mais si on faut une rotation de pa' de 30 ° par exemple de centre p il y aura une autre distance minimale et un autre point ...

[Razes]

Je te signale que le point n'est pas donné.

Je te propose de faire l'expérience. Prends une règle, un compas, un rapporteur et un crayon, trace A et B puis la droite; choisis plusieurs points P et effectue des mesures. si tu peux joindre la photo ça serait bien.

[Pseuda]

Bonsoir,

Ou si tu préfères : tout autre trajet que celui qui passe par le point P sera plus long que celui qui passe par le point P, car il aura la longueur d'une ligne brisée, et non pas d'une ligne droite.

Cela suffit à démontrer.

Et maintenant, comment on trouve la symétrie orthogonale ? Avec de l'astuce... En fait, on trouve d'abord, et on démontre ensuite.

[Grizet]

Je vous remercie vraiment tous pour votre grande persévérance,ne crois que j'ai compris (plus au moins)

Maintenant, si quelqu'un aurait une démonstration à proposer, je ne suis pas contre car je ne sais pas pour vous mais ce problème ne e semble vraiment pas trivial ^^

Merci encore pour votre grande aide !

[beagle]

tu cherches une démonstration,estce à dire que ce qui est proposé ne démontre pas?

Sinon la distance des points à la droite se mesure par la droite qui passe par les points et coupe angle droit la droite.Donc après la démonstration proposée qui est très jolie, ben tu diras que le point se situe grace à Thalès à un niveau tel que : .../... = .../... Thalès.

[Grizet]

L'angle formé par les 2 segments du trajet est bien de 90° ? Si oui, peut on prouver que cet angle est l'angle pour optimiser la distance du trajet ?