Limite d'une intégrale

[OOO96]

Bonjour à tous ! :we:

J'aimerais obtenir de l'aide pour calculer la limite d'une intégrale :

f est une fonction continue, positive et croissante sur l'intervalle [0;1]
Rappeler pourquoi lim n--> + infini intégrale de 0 à 1 f(t).t^n.dt=0

Désolée j'espère que l'énoncé est clair je n'arrive pas à l'écrire correctement.

Merci pour votre aide ! :id:

[Thomas Joseph]

f est continue sur un intervalle fermé, donc bornée. Note M cette borne, majore alors la fonction à intégrer par une nouvelle fonction dont tu sais calculer une primitive, intègre les deux membres de ton inégalité ... tu as terminé.

Remarque : avec la croissance tu peux déterminer M facilement.

[OOO96]

Ca donne intégrale de 0 à 1 t^n.ft.dt inférieur ou égal à M X intégrale de 0 à 1 t^n dt ce qui est égale à M/n+1 qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini
C'est bien ça ?

[Thomas Joseph]

C'est ça,

tu peux améliorer en donnant une expression de M à l'aide de f (utilise la croissance)

[Black Jack]

Le max de f(t) sur [0;1] est f(1) > 0 et > que f(0)
Et quelle que soit f (dans les conditions de l'énoncé) : f(0) >= 0 sur [0 ; 1]

On a donc 0 <= f(t) <= f(1)

0 <= t^n.f(t) <= f(1).t^n (puisque t^n >= 0 sur [0 ; 1])

0 <= S(de0à1) t^n.f(t) dt <= S(de0à1) f(1).t^n dt

0 <= S(de0à1) t^n.f(t) dt <= f(1).[t^(n+1)/(n+1](de 0 à 1)

0 <= S(de0à1) t^n.f(t) dt <= f(1) * 1/(n+1)

et avec n --> +oo ...

:zen:

[OOO96]

Merci Beaucoup Pour Votre Aide !!! :d