Les suites - récurrence

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homosapiens
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les suites - récurrence

par homosapiens » 04 Mar 2007, 12:36

:marteau:
coucou tout le monde, je galère encore sur l'exo, je fais un résumé:

Soit a un réel strictement positif
On considère une suite réelle (Un) définie par son premier terme U0 strictementpositif et la relation de récurrence : Un+1=(1/2)(Un + (a/Un))

1)a) Démontrer pour tt n que, Un strictement supèrieur à 0

Pas deproblème je l'ai fait par récurrence.
Pour quelle valeur de U0 la suite (Un) est-elle constante?
Là je trouve U0= rac a en posant Un+1=Un

2) On suppose désormais que : (U0)²-a diffèrent de0
a) Démontrer que Un+1- rac a= [1/(2Un)](Un-rac a)²
Démontrer que Un+1+ rac a= [1/(2Un)](Un+rac a)²

Pas de soucis, j'ai réussi

b) Démontrer que la suite (Un) est strictement décroissante à partir du rang 1.
Je trouve Un+1-Un= -(Un²-a)/2Un mais comment démontrer que c'est négatif ?

En déduire que la suite (Un) admet une limite qu'on ne cherchera pas à calculer.
Comme U est minorée et qu'elle est décroissante, elle converge donc admet une limite

Enfin, on pose Vn= (Un-rac a)/ (Un + rac a)

a) Il faut exprimer Vn+1 en fonction de Vn puis en fonction de V1 et n
.
Je trouve Vn+1= Vn² (d'&près les questions précédentes, mais pour exprimerer Vn+1 en fonction de Vn et V1 ... je sèche

b)En déduire la limite de Vn
Puis déterminer la limite de Un


Voila, si quelqu'un veut bien me filer un petit coup de main.. merci :mur:



armor92
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par armor92 » 04 Mar 2007, 14:21

Bonjour,

homosapiens a écrit::marteau:
b) Démontrer que la suite (Un) est strictement décroissante à partir du rang 1.
Je trouve Un+1-Un= -(Un²-a)/2Un mais comment démontrer que c'est négatif ?

On peut démontrer que Un > Rac a à partir de l'indice n = 1

On a démontré dans le 2) a) que : Un+1- rac a= [1/(2Un)](Un-rac a)²
Un > 0, (Un -Rac a)² > 0, donc on en déduit que : Un+1 - rac a > 0

A partir de l'indice n=1 Un > Rac a
Donc Un² - a > 0 à partir de n=1
D'ou Un+1 - Un < 0 à partir de l'indice n = 1
La suite Un est décroissante à partir de l'indice n=1

armor92
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par armor92 » 04 Mar 2007, 14:46

homosapiens a écrit::marteau:
Enfin, on pose Vn= (Un-rac a)/ (Un + rac a)

a) Il faut exprimer Vn+1 en fonction de Vn puis en fonction de V1 et n
.
Je trouve Vn+1= Vn² (d'&près les questions précédentes, mais pour exprimerer Vn+1 en fonction de Vn et V1 ... je sèche


V1 = V0², V2=V1²=V0^4, V3=V2²=V0^8...
On peut démontrer par récurrence que Vn = V0^(2^n) = V1^(2^(n-1))

homosapiens a écrit::marteau:
b)En déduire la limite de Vn
Puis déterminer la limite de Un



V1 = (U1 - Rac a)/(U1 + Rac a)
On a démontré dans le 2) a) que U1 - Rac a > 0
D'autre part U1 - Rac a + infini

Pour calculer la limite de Un, on exprime Un en fonction de Vn :
Vn = (Un - rac a)/(Un + rac a)
Vn(Un + rac a) = Un - rac a
Un(Vn - 1) = rac a(-Vn - 1)
Un = Rac a (1 + Vn)/(1 - Vn)

Lim (1 + Vn)/(1 - Vn) = 1
n -> + infini

D'ou finalement :
Lim Un = rac a
n -> + infini

homosapiens
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Re :Suites récurrence

par homosapiens » 04 Mar 2007, 16:26

Merci beaucoup!!!

Il me reste une dernière question que je ne comprends pastrop (le boulet...) si vous voulez bien m'éclairer... Merci d'avance!!

Soit Un et Vn les deux suites définies désormais par :

Uo=2
Un+1=1/2(Un+(2/Un))

et Vo =2
Vn+1=1 + 1/(Vn+1)

Daprès les réponses précédentes u converge vers rac2; on admet donc que v converge vers rac2
1°Comparez avec votre calculatrice les vitesses de convergence de u et v en étudiant les valeurs de Un-rac2 et vn-rac2.
2°Déduisez le plus petit entier naturel z tel que pour tout entier naturel n
z=< n équivaut à |un-rac2|=< 16*10^(-13)
3°Déduisez le plus petit entier naturel z tel que pour tout entier naturel n
z=< n équivaut à |vn-rac2|=< 16*10^(-13)
:cry:

Si quelqu'un veut bien encore une fois m'aider ... MERCII :we:

armor92
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par armor92 » 04 Mar 2007, 19:03

1°)
Avec ma calculatrice
U0 = 2 U0 - Rac 2 = 0,58..
U1 = 1.5 U1 - Rac 2 = 0,0857...
U2 = 1.416666666.... U2 - Rac 2 = 0,00245
U3 = 1.414215686.... U3 - Rac 2 = 2,1239 . 10^(-6)
U4 = 1.414213562.... U3 - Rac 2 = 0 (d'après ma calculatrice)

V0 = 2 V0 - Rac 2 = 0,58..
V1 = 1.333333333.... V1 - Rac 2 = -0.08088...
V2 = 1.428571429.... V2 - Rac 2 = 0.014358...
V3 = 1.411764706.... V3 - Rac 2 = -0.00244...
V4 = 1.414634146.... V4 - Rac 2 = 4.2058 . 10^(-4)

Donc la suite Un converge plus rapidement que la suite Vn

Pour le 2°) ma calculatrice n'est pas assez précise pour calculer le plus petit z.

Pour le calculer par la théorie, on peut utiliser la suite vue dans les questions précédente :
Wn = (Un - Rac 2)/(Un + Rac 2)
On a démontré que Wn = W0^(2^n)

Un - Rac 2 = W0^(2^n) * (Un + Rac 2)
On peut approximer Un + Rac 2 par 2 Rac 2
Cela revient à calculer le premier n tel que :
W0^(2^n) * 2 * Rac 2 <= 16*10^(-13)

 

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