Exercice de Terminale S spécialité maths

[Snii-kers]

[FONT=Times New Roman] Bonjour à tous,

Je suis bloquée à une question de DM de spécialité sur les nombres premier entre eux et les PGCD.
Voici l'énoncé de tout l'exercice:

a et b désignent des entiers relatifs non nuls. Pour tout i {1;2;...;n}, b[SIZE=1]i désigne un entier relatif non nul.

1) Montrer que si a et b sont premier entre eux alors :
a) a et a+b sont premiers entre eux lorsque a + b 0 ;
b) a et a-b sont premiers entre eux lorsque a - b 0.

2) a) Montrer que si a et b sont premier entre eux et a et c sont premiers entre eux alors a et bc sont premiers entre eux.
b) Montrer que si pour tout i {1;2;...;n}, a et bi sont premier entre eux alors a et b1, b2 ... bn sont premiers entre eux.
c) Montrer que si a et b sont premier entre eux, alors pour tout n, p , a^n et b^p sont premier entre eux.

J'ai réussi la question 1, mais je bloque à la 2)a), j'ai essayé de le faire les PGCD, la forme au+bv=1 ... mais ça ne marche pas.
Merci d'avance pour votre aide et bonne journée! [/SIZE] [/FONT] :we:

[chan79]

salut
pour la 2a)
Les diviseurs de bc sont formés à partir des facteurs premiers de b et de c. Or aucun d'entre eux n'entre dans la décomposition en facteurs premiers de a.
Ou bien:
ua+vb=1
u'a+v'c=1
tu multiplies membre à membre

[Snii-kers]

salut
pour la 2a)
Les diviseurs de bc sont formés à partir des facteurs premiers de b et de c. Or aucun d'entre eux n'entre dans la décomposition en facteurs premiers de a.
Ou bien:
ua+vb=1
u'a+v'c=1
tu multiplies membre à membre

J'ai fais ce que t'as dit j'ai trouvé:
(au+bv)(au'+cv')=1
(au)(au')+(au)(cv')+(bv)(au')+(bv)(cv')=1
a(auu'+ucv'+u'bv')+bc(vv')=1
On pose U=auu'+ucv'+u'bv' et V=vv'
On a alors : aU+bcV=1 avec U,V appartenant à Z
Donc a et bc sont premier entre eux

Merci pour ton aide ! Ca m'a sauvé la vie :++:

[chan79]

J'ai fais ce que t'as dit j'ai trouvé:
(au+bv)(au'+cv')=1
(au)(au')+(au)(cv')+(bv)(au')+(bv)(cv')=1
a(auu'+ucv'+u'bv')+bc(vv')=1
On pose U=auu'+ucv'+u'bv' et V=vv'
On a alors : aU+bcV=1 avec U,V appartenant à Z
Donc a et bc sont premier entre eux

Merci pour ton aide ! Ca m'a sauvé la vie :zen:

Je suis content d'avoir sauvé une vie ! :zen:

[Snii-kers]

Je suis content d'avoir sauvé une vie ! :zen:

J'ai un autre problème au niveau de la 2)b), j'ai essayé une récurrence mais ça n'aboutit pas et apparemment la 2)c) en serait une, donc ce n'est pas possible pour la 2)b).
J'ai remarqué qu'il y a un lien direct avec la 2)a), j'ai essayé de faire à peu près la même méthode mais ça aurait été trop simple :look2:

[chan79]

J'ai un autre problème au niveau de la 2)b), j'ai essayé une récurrence mais ça n'aboutit pas et apparemment la 2)c) en serait une, donc ce n'est pas possible pour la 2)b).
J'ai remarqué qu'il y a un lien direct avec la 2)a), j'ai essayé de faire à peu près la même méthode mais ça aurait été trop simple :look2:

Les diviseurs du produit sont obtenus à l'aide des diviseurs des
Comme a n'a pas de diviseur commun avec les , il ne peut pas en avoir avec leur produit