Inverse d'une matrice

[axelfelix]

Bonjour à tous,

je prends des cours du soir, et j'ai une UE sur la programmation linéaire avancée... Le prof sympa nous a repris certaines bases pour ceux qui n'avaient pas fait de Math depuis un moment :lol3:

Du coup petit point sur les matrices et là, je tombe sur deux informations contradictoires, pourriez-vous confirmez la bonne solution svp.

Voilà la matrice A;)1 = 1/|A| * adj(A) --> la matrice inverse est égale à l'inverse du déterminant de la matrice A que multiplie l'adjointe de la matrice A. (ça c'est la définition du prof)

Sur wikipédia je peux lire que :

Code: Tout sélectionner

En algèbre linéaire, une matrice adjointe (aussi appelée matrice transconjuguée) d’une matrice M à coefficients complexes est la matrice transposée de la matrice conjuguée de M. Dans le cas particulier où M est à coefficients réels, sa matrice adjointe est donc simplement sa matrice transposée.

Donc pour mon cas étant donné que ce ne sont que des réels, la matrice adjointe pour mon cas est juste la transposée.

Or sur wikipédia toujours http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_inversible voir le paragraphe "Méthode des cofacteurs" vers le milieu.

Désolé pour la lisibilité mais il est difficile d'afficher l'écriture mathématique sur le forum.

Donc la méthode est différente et le résultat aussi, il ne suffit pas de prendre la transposée de la matrice pour le calcul de l'adjointe et je me demande si la formule que nous a donné le prof est juste (ou si e l'ai mal noté).

Merci à tous ceux qui pourrons m'éclairer.

Bonne fin d'année.

[Maxmau]

Bj
si j'appelle comatrice de A (notée comA) la matrice obtenue à partir de A en remplaçant chaque terme de A par son cofacteur, on a la formule: (inverse de A)x(detA) = transposée de comA
c'est donc bien entendu wikipedia qui a raison; C'est sans doute de la part de ton prof une simple erreur de terminologie.

[axelfelix]

Bonjour,

merci beaucoup pour la rapidité de cette réponse, et surtout pour la confirmation.
Maintenant je suis sur de la démarche à suivre pour la résolution de l'inverse d'une matrice.

Dernière chose si vous le permettez (si je dois réouvrir un post je le ferais, mais c'est pour éviter de surcharger le forum), je voudrais avoir des précisions sur la transposition de matrice.

Prenons la matrice A qui est donc différentes de la transposée de A car on change de base, les lignes donnent des colonnes et vis versa, donc pour un vecteur c'est la même chose un vecteur ligne est différent d'un vectuer colonne. Il faut transposer un vecteur ligne par exemple pour réaliser le produit de celui-ci avec une matrice ayant n colonnes (n correspondant également au nombre de ligne de notre vecteur transposé), mais du coup nous avons un résultat obtenu avec une base différente car au départ nous avions un vecteur ligne..

Pour essayer d'être clair à quoi sert exactement la transposition mis à part pour nous arranger dans certains calculs et de plus comment interpréter un résultat sachant qu'on a changé de base, faut-il retransposer le résultat pour revenir dans notre base???

Comme vous l'aurez compris c'est loin d'être clair pour moi.

Merci à ceux qui prendront le temps de me repondre et bonne fete de fin d'année !!!!

[Maxmau]

Bonjour,

merci beaucoup pour la rapidité de cette réponse, et surtout pour la confirmation.
Maintenant je suis sur de la démarche à suivre pour la résolution de l'inverse d'une matrice.

Dernière chose si vous le permettez (si je dois réouvrir un post je le ferais, mais c'est pour éviter de surcharger le forum), je voudrais avoir des précisions sur la transposition de matrice.

Prenons la matrice A qui est donc différentes de la transposée de A car on change de base, les lignes donnent des colonnes et vis versa, donc pour un vecteur c'est la même chose un vecteur ligne est différent d'un vectuer colonne. Il faut transposer un vecteur ligne par exemple pour réaliser le produit de celui-ci avec une matrice ayant n colonnes (n correspondant également au nombre de ligne de notre vecteur transposé), mais du coup nous avons un résultat obtenu avec une base différente car au départ nous avions un vecteur ligne..

Pour essayer d'être clair à quoi sert exactement la transposition mis à part pour nous arranger dans certains calculs et de plus comment interpréter un résultat sachant qu'on a changé de base, faut-il retransposer le résultat pour revenir dans notre base???

Comme vous l'aurez compris c'est loin d'être clair pour moi.

Merci à ceux qui prendront le temps de me repondre et bonne fete de fin d'année !!!!

L'expression "changer de base " que tu emploies est tout à fait impropre
Pour pouvoir effectuer le produit AB de la matrice A par la matrice B, il faut et il suffit que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. Si A a p lignes et q colonnes et B q lignes et r colonnes, on peut calculer le produit AB (ds cet ordre) et ce produit est une matrice à p lignes et r colonnes.
ex: Si A a n lignes et n colonnes, si V est une colonne à n composantes, si W est une ligne à n composantes, on peut calculer AV ( c'est une colonne) et WA (c'est une ligne) mais les produits VA et AW n'ont pas de sens.
Il me semble que tu te crées des pb là où il n'y en a pas
Quant à la transposition, c'est une opération très utile (mais on voit ça à la longue)
bon travail et bonne année

[axelfelix]

Bonjour,

effectivement j'ai tendance à créer des problèmes là où il n'y en a pas :mur:

Donc si j'ai bien compris j'ai le temps de voir l'utilité de la transposition, je me posais la question car notre prof en parle souvent pour multiplier un vecteur ligne avec une matrice ou un autre vecteur ligne..

ce qui me derange ce n'est pas la transposition mais la signification qu'il y a derrièrre, si au départ j'ai deux vecteurs lignes, il faut bien que je transpose B pour faire AB, mais du coup c'est là où ca me chagrine c'est parce que au début AB n'a pas de sens, on doit passé par: A * transposé B, mais du coup le resultat final est-il vraiment celui qu'on attend?

Lol désolé pour ces questions de fin d'année !!!

A l'année prochaine tous.

[Maxmau]

Bonjour,

effectivement j'ai tendance à créer des problèmes là où il n'y en a pas :mur:

Donc si j'ai bien compris j'ai le temps de voir l'utilité de la transposition, je me posais la question car notre prof en parle souvent pour multiplier un vecteur ligne avec une matrice ou un autre vecteur ligne..

ce qui me derange ce n'est pas la transposition mais la signification qu'il y a derrièrre, si au départ j'ai deux vecteurs lignes, il faut bien que je transpose B pour faire AB, mais du coup c'est là où ca me chagrine c'est parce que au début AB n'a pas de sens, on doit passé par: A * transposé B, mais du coup le resultat final est-il vraiment celui qu'on attend?

Lol désolé pour ces questions de fin d'année !!!

A l'année prochaine tous.

"je me posais la question car notre prof en parle souvent pour multiplier un vecteur ligne avec une matrice ou un autre vecteur ligne.." :
sans doute parce que, en calcul matriciel,les coordonnées d'un vecteur sont mises en colonne. les vecteurs lignes apparaissent alors le plus souvent comme transposés de vecteurs colonnes.

"j'ai deux vecteurs lignes, il faut bien que je transpose B pour faire AB, mais du coup c'est là où ca me chagrine c'est parce que au début AB n'a pas de sens, on doit passé par: A * transposé B, mais du coup le resultat final est-il vraiment celui qu'on attend?" :
le produit de 2 lignes n'a pas de sens. Donc il ne faut pas chercher à le faire quand même.

[axelfelix]

merci pour toutes ces réponses, surtout pendant ces périodes de fêtes je ne pensais pas avoir de réponses si rapides.

Donc pour faire le point je sais dans quelles conditions utiliser les transposées mais donc pas encore ce qu'elles représentent :marteau:

Bonne année à tous.