Exo suite et logarithme

[youkef-sne]

Sqlut j'ai un exo a faire je ne sais meme pas par ou debuter donc si vous pouvez m'aider, ce serait cool:

1) Montrer que pour tout x>=0, x/(x+1) <= ln(1+x) <= x. (On pourra considérer les fonctions f(x)=x-ln(1+ et
g(x)=(x+1)ln(1+x)-x) )
2) Montrer que pour tout entier n>=1, on a:1/(n+1) <= ln(n+1)-ln(n) <= 1/n.
3) Pour n>=1, soit Un=1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
En déduire de l'inégalité précédente que ln(n+1)<=Un<=ln(n)+n et que la suite (Un) est divergente.
4) Pour n>=1, soit V(n)=U(n) - ln(n). Montrer que la suite V(n) est decroissante et positive. Que peut-on en conclure ?

Merci à beaucoup ce qui m'aideront

[Lostounet]

Salut,

Tu peux montrer que f(x) = x - ln(x + 1) est positive
et calculant f'(x).

Ensuite pour la 2), que vaut ln(n + 1) - ln(n) ? (ln(a) - ln(b) = ln(a/b))
Tu appliques le 1) pour x = 1/n

[youkef-sne]

Bien vu; voila ce que j'ai fais:
1) On a f(x)=x-ln(1+x). f est continue sur[-1; +infinity[ et est derivale sur cette intervalle et admet comme derivée:
f'(x) = 1 - 1/(1+x) = (1+x)/(1+x) - 1/(1+x) = ((1+x)-1)/(1+x)=x/(1+x).
f'(x)>=0 lorsque x/(1+x)>=0 <=> x>=0
Ainsi, f est croissante et donc positive sur ]-1; +infinity[.

[Lostounet]

Continue est inutile puisque la dérivabilité implique la continuité.
En plus on travaille juste pour x>=0 donc la croissance sur ]-1; +oo[... je ne pense pas.

[youkef-sne]

Continue est inutile puisque la dérivabilité implique la continuité.
En plus on travaille juste pour x>=0 donc la croissance sur ]-1; +oo[... je ne pense pas.

En effet c'est vrao seulement calculer la derivee, je ne vois pas comment cela peut nous aider a prouver l'inegalité de la question 1

[Lostounet]

Tu as dit f croissante donc positive ? C'est une horreur !
-1/x est croissante et négative pour x>0 !

En fait tu as montré que pour x>=0, f augmente

Calculons f(0) que vaut f(0) ?

[youkef-sne]

Nam je me suis trompé je reprend f'(x)=x/(1+x) et f'>=0 lorsque x>= 0.
Om en deduis que comme f' >= 0, f est positive. De plus, x+1>x donc f' est decroissante.

[Lostounet]

Non: lorsque f' est positive cela signifie que f est croissante.
Pour x>= 0 quel est le signe de f'?
Et donc f est-elle croissante sur cet intervalle?

[youkef-sne]

Non: lorsque f' est positive cela signifie que f est croissante.
Pour x>= 0 quel est le signe de f'?
Et donc f est-elle croissante sur cet intervalle?

Pour la question 1 j"ai compris, voila ce que j'ai fais:
x/(x+1) x/(x+1) x 0 =0 et f(x>=0.
on en deduut que f'(x) = 1- 1/(1+x) = x/(x+1) >= 0. Donc f est croissante.
De meme, g'(x) = ln(1+x) + (x+1)/x >= 0 donc g est aussi croissante

[Lostounet]

C'est bon dans l'ensemble !
Continue la 2)?

[youkef-sne]

C'est bon dans l'ensemble !
Continue la 2)?

Voila ce que j'ai fais pour la question 2:
On a pour tout n>= 1, 1/(n+1)=1, Un p+1 1/(p+1) 1/(p+1) -ln(1+p)+ln(p) =1 et U(n)=0:

Initialisation: Pour n=1, V(1)=-ln(2) et 1-ln(2)>=0 la propriéte est donc initialisée.
Heredité: supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, on a alors: V(p)>=0 démontrons que cette propriété est héréditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1:
p>=1 (1/p)>=1 (1/p) -ln(1+p)+ln(p) >= 1-ln(1+p)+ln(p)>=0 soit U(p+1)>=0 .
Conclusion: la propriété initialiser au rang n=1et si elle est vraie pour un certain rang p alors elle est vrai au rang p+1 et donc elle est hereditaire. En conclusion la propriété est vrai pour tout n>=1 et V(n)>=0.

Des deux
démonstration fait précédemment on en déduit que l'inegité 1/(n+1) <= ln(n+1)-ln(n)<=1/n est verifiée.

[youkef-sne]

Bon est-ce que l'on pourrait m'aider pour la question 3