Le logarithme népérien (terminale, exo)

[Yumi93]

Bonjour,
J'ai un exercice sur les ''travaux de Neper'' et je bloque sur une question , Pourriez vous m'aider ?
Voici les données fournis avec la question:
"Neper choisit de prendre comme approximation de ln(x), la moyenne arithmétique des bornes de l'encadrement précédent, c'est à dire la moyenne des deux nombre x-/x et -1"
Voici la question sur laquelle je bloque : Justifier que pour tout réel x supérieur à 0 , ln(x)= 1/2 (x- (1/x) )
J'ai essayé plusieurs démarches mais je n'arrive pas à ce résultats donc je suis perdue
En vous remerciant,
Bonne soirée.

[Black Jack]

Bonjour,

Ecris l'énoncé au complet ... sans le modifier.

Si tu espères montrer que "pour tout réel x supérieur à 0 , ln(x)= 1/2 (x- (1/x) )" , ce n'est pas possible, car c'est faux.

[Yumi93]

Bonjour,

Ecris l'énoncé au complet ... sans le modifier.

Si tu espères montrer que "pour tout réel x supérieur à 0 , ln(x)= 1/2 (x- (1/x) )" , ce n'est pas possible, car c'est faux.

Bonsoir,
Ah! cela expliquerai pourquoi je ne trouvais pas le résultat , je peux vous montrez l'énoncé globale de l'exercice car cette question fait partie de la deuxième partie de cette exercice:

"Au 17e siècle, Neper bâtit sa conception du logarithme par des procédés cinématiques. Il imagine deux points mobiles se déplaçant sur deux axes parallèles, l’un se déplaçant à une vitesse constante et l’autre se déplaçant à une vitesse proportionnelle à la distance lui restant à parcourir. Il parvient ainsi à établir l’encadrement suivant du logarithme :
pour tout réel x > 0, (x −1)/x <= ln(x) <= x-1
Objectif : on se propose de démontrer et d’utiliser cet encadrement dont Neper a fait un usage intensif"

Voilà l'énoncé et donc dans la partie A, on cherchait une démonstration de cet encadrement avec 2 fonctions données.
Merci de votre réponse, en espérant que ces informations n'étaient pas trop mal expliquées.
bonne soirée.

[Black Jack]

Bonjour,

Ce n'est certainement pas Neper qui a fait ce que tu écris ...
Les logarithmes" népériens" ne sont pas l'oeuvre de Neper.
Neper a fait d'important travaux sur la notion de logarithme ... mais pas ceux en base "e" qui ont été développés après la mort de Neper.

C'est après la mort de Neper que les logarithmes naturels ont été étudié et qu'on leur a donné le nom de "népérien" en hommage aux travaux capitaux de Neper sur les logarithmes en général.

Enfin soit ...
****************************
Ici c'est clair.

Par exemple pour démontrer que ln(x) <= x+1, on peut par exemple faire :

Soit f(x) = ln(x) - (x+1) (pour x > 0)
f'(x) = 1/x - 1 = (1-x)/x

f'(x) > 0 pour x compris dans ]0 ; 1[ --> f est croissante
f'(x) = 0 pour x = 1
f'(x) < 0 pour x > 1 --> f est décroissante

f a donc un maximum pour x = 1, ce max vaut f(1) = ln(1) - (1+1) = -2 < 0

Le max de f étant négatif, on peut conclure que f(x) <= 0 pour tout x > 0

Donc ln(x) - (x+1) <= 0 --->

ln(x) <= x + 1 (pour tout x > 0)
****
Voila, à ton tour pour démontrer que (x-1)/x <= ln(x)

en posant g(x) = (x-1)/x - ln(x)
et en étudiant les variations de g ...

[Yumi93]

Bonjour,

Ce n'est certainement pas Neper qui a fait ce que tu écris ...
Les logarithmes" népériens" ne sont pas l'oeuvre de Neper.
Neper a fait d'important travaux sur la notion de logarithme ... mais pas ceux en base "e" qui ont été développés après la mort de Neper.

C'est après la mort de Neper que les logarithmes naturels ont été étudié et qu'on leur a donné le nom de "népérien" en hommage aux travaux capitaux de Neper sur les logarithmes en général.

Enfin soit ...
****************************
Ici c'est clair.

Par exemple pour démontrer que ln(x) <= x+1, on peut par exemple faire :

Soit f(x) = ln(x) - (x+1) (pour x > 0)
f'(x) = 1/x - 1 = (1-x)/x

f'(x) > 0 pour x compris dans ]0 ; 1[ --> f est croissante
f'(x) = 0 pour x = 1
f'(x) < 0 pour x > 1 --> f est décroissante

f a donc un maximum pour x = 1, ce max vaut f(1) = ln(1) - (1+1) = -2 < 0

Le max de f étant négatif, on peut conclure que f(x) <= 0 pour tout x > 0

Donc ln(x) - (x+1) <= 0 --->

ln(x) <= x + 1 (pour tout x > 0)
****
Voila, à ton tour pour démontrer que (x-1)/x <= ln(x)

en posant g(x) = (x-1)/x - ln(x)
et en étudiant les variations de g ...

Bonjour,
Merci de prendre le temps de me répondre ,
J'ai donc étudié les variations de g et donc maintenant dois je utiliser ces études de variations des fonctions précédentes pour pouvoir répondre à la question à laquelle je suis bloquée ou je n'ai pas besoin ?
Merci de votre réponse, elle m'a bien aidée à comprendre la 1ère partie de l'exercice
Bonne journée.

[Black Jack]

Si tu as bien réalisé l'étude des variations de g (pour x > 0)

Tu as du arriver à montrer que g est maximum en g = 1 et que g(1) = 0

Donc que g(x) <= 0
--> (x-1)/x - ln(x) <= 0

soit donc : (x-1)/x <= ln(x)
****
et en groupant ce résultat avec celui trouvé dans mon 1er message, on a :
(x-1)/x <= ln(x) <= x+1

Et c'est fini.

[Yumi93]

Si tu as bien réalisé l'étude des variations de g (pour x > 0)

Tu as du arriver à montrer que g est maximum en g = 1 et que g(1) = 0

Donc que g(x) <= 0
--> (x-1)/x - ln(x) <= 0

soit donc : (x-1)/x <= ln(x)
****
et en groupant ce résultat avec celui trouvé dans mon 1er message, on a :
(x-1)/x <= ln(x) <= x+1

Et c'est fini.

Rebonjour,
oui je trouve bien ça je suis rassurée de trouver le même résultat que vous !
Et bien merci beaucoup pour votre patience et votre aide. J'ai réussi à bien mieux comprendre l'exercice grâce à vous.
Je vous remercie énormément
je vous souhaite une bonne journée !

[Black Jack]

Attention

Par distraction j'ai commencé par démontrer que ln(x) <= x+1 alors qu'il fallait démontrer que ln(x) <= x-1

Il faut donc corriger ce que j'ai écrit pour en tenir compte.