Exo maths spé!

[arthur95]

a et b deux entiers

[Carpate]

a et b deux entiers tel que a²+2ab+b² carré parfait. a²+3ab+b² peut elle être un carré parfait? dans quels cas?
Je pense que si a=0 ou b=0 l'expression peut donner un carré parfait sinon non, je me trompe?

OUI, mais c'est valable pour tous réels a, b
Y-a-t-il une autre solution si a et b sont entiers ?

[arthur95]

OUI, mais c'est valable pour tous réels a, b
Y-a-t-il une autre solution si a et b sont entiers ?

Qu'est ce que tu proposes? Je ne vois pas ce que ça change si on considère a et b comme entiers ou comme réels :hum:!

[arthur95]

Qu'est ce que tu proposes? Je ne vois pas ce que ça change si on considère a et b comme entiers ou comme réels !

[Carpate]

Qu'est ce que tu proposes? Je ne vois pas ce que ça change si on considère a et b comme entiers ou comme réels !

Moi aussi.
Je ne comprends pas bien l'intérêt de l'exercice

[Sourire_banane]

Salut,

On dit spé maths, t'es pas encore en maths spé :p

[chan79]

a et b deux entiers tel que a²+2ab+b² carré parfait. a²+3ab+b² peut elle être un carré parfait? dans quels cas?
Je pense que si a=0 ou b=0 l'expression peut donner un carré parfait sinon non, je me trompe?

salut
s'agit-il de trouver tous les couples d'entiers (a,b) tels que a²+3ab+b² est le carré d'un entier ?
comme (72,39) ou (99,88)
72²+3*72*39+39²=123²

[hammana]

OUI, mais c'est valable pour tous réels a, b
Y-a-t-il une autre solution si a et b sont entiers ?

Bien sûr.
A titre d'exemple les couples:
3,7-8,9-13,24-19,63 répondent à la question.

[arthur95]

Bien sûr.
A titre d'exemple les couples:
3,7-8,9-13,24-19,63 répondent à la question.

Mais comment retrouver ces exemples par le calcul et donner une réponse générale et pas au cas par cas?

[arthur95]

salut
s'agit-il de trouver tous les couples d'entiers (a,b) tels que a²+3ab+b² est le carré d'un entier ?
comme (72,39) ou (99,88)
72²+3*72*39+39²=123²

Je pense qu'il s'agit plutot de donner une réponse générale, comment faire pour retrouver ces couples par le calcul?

[arthur95]

Quelqun aurait une idée de réponse? :cry:

[mathafou]

a et b deux entiers tel que a²+2ab+b² carré parfait

On va laisser tomber cette partie de l'énoncé :ptdr:
et se contenter de chercher les entiers a, b, n tels que a² + 3ab + b² = n²

cela revient à chercher les points rationnels (à coordonnées rationnelles) sur la courbe x² + 3xy + y² = 1
on en connait un : A (0; 1) par exemple

on fait passer une droite y = tx + 1 par ce point rationnel, avec t rationnel quelconque, et le second point d'intersection avec la courbe donne un autre point à coordonnées rationnelles (le démontrer) et réciproquement, par tout point M à coordonnées rationnelles de cette courbe, la droite AM a pour pente un nombre rationnel (le démontrer)
on génére ainsi l'ensemble des points à coordonnées rationnelles en faisant parcourir l'ensemble des rationnels par t, c'est à dire t = p/q avec p et q entiers quelconques premiers entre eux.

multiplier ensuite par le dénominateur commun pour remonter à {a, b, n} est une formalité.
reste quelques détails du genre le facteur arbitraire {ka, kb, kn}, ou le PGCD pour rendre les fractions irréductibles et ne générer les solutions chacune qu'une seule fois.

quelques petit détails de calcul sur l'étude de la courbe (c'est une hyperbole) sont nécessaires.


"la marge est trop petite pour mettre les détails"