Exercices devoir maison compliquer

[Nulenmaths.42]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour deux exercices d'un DM SVP

Exercice 2 :
1) Calculer les huit premières puissances de 3 d'exposant positif
2)Déduisez-en une conjecture sur le chiffre des unités de l'écriture décimale de 3 puissance 'n' ou n est un entier positif
3)Grace au 2) déterminer le chiffre des unités des écriture décimales des nombres suivants 3 puissance 23 et 3 puissance 38
4)Déterminer une puissance de 3 d'éxposant superieur à 150 ayant 7 comme chiffre des unités

Exercice 3:
On considère la fonction h qui , à un nombre 't', fait correspondre le nombre '-5t²+20t'.
Au football, lors d'un dégagement un gardien de but, si t est le temps écoulé depuis le tir , exprimé en secondes,h(t) est la hauteur en mètres du ballon au dessus du sol, t secondes après le tir.
1) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant
_________________________
x 0 1 1.5 2 2.5 3 4 5
__________________________
h(x)

Placer ensuite dans un repère orthogonal les points de coordonées (x;h(x)).On prendra comme unités:1cm pour 1s en abcisse et 1 cm pour 5m en ordonnées.
2)A quelle hauteur est le ballon au bout d'une seconde?Et au bout de deux secondes ?

Merci d'avance.

[titine]

Bonjour.
Et s'il vous plait ? Et merci ?

Maintenant dis nous ce que tu as fait.

As tu fait :

Calculer les huit premières puissances de 3 d'exposant positif

?

[Nulenmaths.42]

Je n'y suis pas arriver.Excusez moi d'avoir oublier les formules de politesse

[Lostounet]

Bonsoir,

Qu'est-ce que la puissance n d'un nombre a?

Tout simplement, c'est le nombre . Les huit premières puissances de 3 positives (non nulles, mais tu pourrais inclure le si tu veux), sont donc les nombres:





...

Il te suffit maintenant de trouver les valeurs exprimées sans exposants. Par exemple 3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
Ainsi de suite !

Très facile !

[Nulenmaths.42]

Pour les autres questions c'est un peu plus compliquer comment faire ?

[Lostounet]

Peux-tu me montrer tes calculs? Nous allons essayer d'analyser l'exercice ensemble.

Une conjecture est une hypothèse: c'est en général quelque chose que tu remarques.
Par exemple, je te donne une liste de nombres:
1; 2; 4; 8; 16; 32; ?

Quel est le nombre suivant?
Une conjecture valable, serait de supposer que le nombre suivant est "64"...

Ici, c'est la même idée. Montre-moi les valeurs que tu as obtenues pour les puissances de 3. On va essayer de remarquer quelque chose de particulier...

P.S: Ecriture décimale veut dire tout simplement... le nombre lui-même. Ne tiens pas compte du vocabulaire, ça complique les choses.
L'écriture décimale de 3^3 est tout simplemetn 27... Tu vois, c'est rien.

[Nulenmaths.42]

Pour les puissance de 3 voilà ce que j'ai Obtenu :
3^1:3
3^2:9
3^3:27
3^4:81
3^5:243
3^6:729
3^7:2187
3^8:6561

[Lostounet]

Regarde le chiffre des unités de chaque nombre... Recopie ces chiffres les uns à la suite des autres.
Tu ne vois toujours rien?

[Nulenmaths.42]

3 9 7 1 3 9 7 1 Le chiffre des unités finira toujours par l'un de ces chiffres. Le chiffre des unités qui sera après le 1 sera donc 3 ?

[Nulenmaths.42]

J'ai essayer de finire l'exercice voila ce que j'ai trouvé:
Réponse pour le 3)3^23 aura un 7 comme chiffre des unités en utilisant la conjecture trouvé précédemment.
3^38 aura un 9 comme chiffre des unités en utilisant la conjecture trouvé précédemment.
Réponse pour le 4) 3^155 semble avoir 7 comme chiffres des unités.
Est ce que c'est juste ?

[Lostounet]

3 9 7 1 3 9 7 1 Le chiffre des unités finira toujours par l'un de ces chiffres. Le chiffre des unités qui sera après le 1 sera donc 3 ?

Oui, c'est une hypothèse ! Excellent travail.


Pour reformuler mathématiquement ce que tu as dit, on peut remarquer que 3^n peut avoir pour chiffre des unités l'un des chiffres suivants (3 ; 9; 7; 1)

Lorsque l'exposant n est un multiple de 4, comme 3^4 par exemple, le chiffre des unités est 1. Alors n peut s'écrire sous la forme n = 4p (juste pour dire que n est un multiple de 4)

3^5 a pour chiffre des unités 3. On peut dire que lorsque l'exposant n s'écrit comme suit: n = 4p + 1, le chiffre des unités est 3. Cela veut dire que si n est un entier qui suit directement un multiple de 4, son chiffre des unités sera de 3.

3^6 a pour chiffre des unités 9. Donc lorsque n = 4p + 2, le chiffre des unités sera de 9.

Finalement, 3^7 a pour chiffre des unités 7. Il en est de même pour toutes les puissances de 3 avec n = 4p + 3

A quoi ça sert, tout ça, tu me diras? C'est simple. Cela t'évitera de compter cent fois pour trouver le chiffre des unités d'une grosse puissance. Par exemple, 3^23. Quel est son chiffre des unités?

Ici, n = 23
De quelle forme est 23? Nous avons l'une des quatre formes suivantes:
4p
4p + 1
4p + 2
4p + 3


Pour le savoir, nous devons écrire 23 sous la forme: 23 = 4 * 5 + 3
Tu vois bien, c'est quelle forme? 4p + 3
Et quel est le chiffre correspondant? C'est bien 7 ! Tu vois, c'est rapide. C'est ce que tu as trouvé !

Pour 3^155. Quelle est la forme correspondante?
n = 155 = 4 * 38 + 3
4p + 3
C'est donc aussi un 7 !

Par exemple, 3^100, quelle sera son chiffre des unités?
n = 100
On a 100 = 4 * 25
C'est de la forme n = 4p.

Par conséquent, le chiffre des unités correspondant sera 1.

Pour la question 4, tu dois essayer de trouver la forme correspondant à 150. Quel est son chiffre des unités?
Combien faut-il ajouter alors à 150 pour l'obtenir?

[Nulenmaths.42]

Pour la question 4, tu dois essayer de trouver la forme correspondant à 150. Quel est son chiffre des unités?
Combien faut-il ajouter alors à 150 pour l'obtenir?[/quote]

4*37+2 C'est donc sa la réponse ?

[Lostounet]

Il faut détailler le raisonnement... comment tu as su?

[Nulenmaths.42]

Déterminer une puissance de 3 d'éxposant superieur à 150 ayant 7 comme chiffre des unités .

Si nous prenons 150 comme exposant nous n'aurons pas 7 comme chiffre des unités il faut donc chercher un exposant superieur à 150 qui sera de formule "4p+2"
-4*37+2 est égale a 155.Nous aurons donc 155 comme exposant.

[Lostounet]

4*37 + 2 n'est pas égal à 155 !
Revois tes calculs !

Mais c'est une bonne rédaction !