Forum de mathématiques
Recherche Messages du jour Marquer les forums comme lus
Rechercher sur Maths-Forum  
  Recherche avancée
  Maths-Forum > Forum Autres matières > Forum Physique
  Pseudo
  Mot de passe  Oublié?  S'inscrire »  
 
Outils de la discussion Rechercher Modes d'affichage
Vieux 10/04/2013, 13h17
chelsea-asm
Membre Réel
 
Sur Maths-Forum depuis: février 2009
Localisation: Dijon
Messages: 291
Par défaut Electrostatique, champ total créé par une sphère et une charge q.

Bonjour,

J'étudie le sujet de l'ENAC 2010, et je ne suis pas d'accord avec l'un des résultats donnés par le corrigé (question 4 ici)...

Soit une sphère de rayon R de centre O_1, de charge volumique uniforme \rho_e possédant une coquille sphérique de même centre et même rayon, d'épaisseur négligeable et de charge surfacique uniforme \sigma_e

1. Avec la méthode de la surface de Gauss on trouve facilement l'expression de E(M), pour un point M, situé à l'intérieur de la sphère :
E(M) = \frac{\rho_e}{3\epsilon_0} r (où r est la distance O_1M

2. Si le point M est à l'extérieur de la sphère :
E(M) = \frac{\rho_e R^3}{3\epsilon_0 r^2} + \frac{\sigma_e R^2}{\epsilon_0 r^2}

3. On place maintenant, sur l'axe (O_1z) une charge q, en un point O_2 à une distance a > R de O_1, telle que la distribution totale soit neutre.

On a donc q = -Q_{int} = -(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_e + 4 \pi R^2 \sigma_e)

4.Quelle est l'expression du champ total sur l'axe O_1O_2 en un point M_1 de côte O_1M_1 = r telle que r >> a ?

Je raisonne à nouveau avec la surface de Gauss, mais d'après la question précédente j'ai Q_{int}' = Q_{int} + q = 0

Donc je dirai E(M) = 0.

D'après le corrigé,
E(M) = \frac{qa}{2\pi\epsilon_0 r^3} \frac{O_1O_2}{||O_1O_2||}

a = ||O_1O_2||.

Pourriez-vous m'expliquer ce résultat ?? Pourtant en quoi la méthode avec Gauss serait fausse et inutilisable ici ?

Merci pour vos explications !

Cordialement.


chelsea-asm est déconnecté  
Vieux 10/04/2013, 17h49
Skullkid
Membre Complexe
 
Avatar de Skullkid
 
Sur Maths-Forum depuis: août 2007
Localisation: Stockholm
Messages: 2 733
Par défaut

Bonjour, le champ électrique est une grandeur vectorielle. Même si en l'occurence tu t'intéresses surtout à son amplitude, les calculs doivent se faire sur la grandeur vectorielle pour éviter certains écueils.

Le théorème de Gauss te dit que si tu as une surface fermée S orientée vers l'extérieur qui entoure une charge Q, alors \iint_S \vec{E}.\vec{\text{dS}}=\frac{Q}{\epsilon_0}. Autrement dit ce théorème ne te donnera jamais qu'une information globale sur le champ (la valeur de son flux à travers une surface donnée). Pour obtenir une information locale (comme la valeur du champ en un point) il faut d'autres hypothèses. Par exemple pour les questions 1 et 2, tu utilises la symétrie sphérique du système, ce qui te permet de dire que si S est la sphère de rayon r et de centre O1, alors \iint_S \vec{E}.\vec{\text{dS}}=4\pi r^2E(r). Mais une fois que tu rajoutes la charge supplémentaire à l'extérieur de la sphère, tu perds des symétries et le flux du champ électrique total à travers la sphère n'a plus d'expression simple. Le théorème de Gauss est toujours valide, mais il te dit juste que le flux du champ à travers la sphère est nul, pas que le champ est uniformément nul sur la sphère.

Pour répondre à la question 4, utilise le fait que le champ (vecteur) engendré par l'union de deux sources est la somme des champs (vecteurs) engendrés par chacune des deux sources prise séparément.

Pour parler un peu physique, ce genre de distribution de charges (deux charges opposées proches l'une de l'autre) s'appelle un dipôle. Quand on se place loin d'un dipôle, on ressent un champ électrique "faible" (qui décroît en 1/r^3 au lieu du 1/r^2 caractéristique des charges isolées) mais non nul. Le dipôle a beau avoir une charge totale nulle, il n'est pas "parfaitement" neutre.
Skullkid est déconnecté  
Vieux 14/08/2013, 00h27
Le Chat
Membre Rationnel
 
Sur Maths-Forum depuis: novembre 2012
Messages: 145
Par défaut

Bonjour,

Je fais remonter ce post parce que j'étudie le meme problème, mais en utilisant une autre méthode. Plutôt que de procéder par intégrale de surface, est-il possible de sommer les elements dE comme suit?

dE = (k dq)/(r^2)

E = int(dE) = int((k dq)/(r^2)) ...etc

J'arrive à 6 kq/r^2 au lieu de kq/r^2

merci pour votre aide

cordialement vôtre
Le Chat est déconnecté  
Vieux 14/08/2013, 01h11
Skullkid
Membre Complexe
 
Avatar de Skullkid
 
Sur Maths-Forum depuis: août 2007
Localisation: Stockholm
Messages: 2 733
Par défaut

Bonsoir, peux-tu détailler tes calculs ?
Skullkid est déconnecté  
Vieux 14/08/2013, 01h17
Le Chat
Membre Rationnel
 
Sur Maths-Forum depuis: novembre 2012
Messages: 145
Par défaut

Citation:
Posté par Skullkid
Bonsoir, peux-tu détailler tes calculs ?


oui tout de suite
Le Chat est déconnecté  
Vieux 14/08/2013, 01h29
Le Chat
Membre Rationnel
 
Sur Maths-Forum depuis: novembre 2012
Messages: 145
Par défaut

<br />
E=\bigint_{-r}^{r}dE<br />
=\bigint_{-r}^{r}\frac{k dq}{r^2}<br />
<br />
dq=4r^2\pi\alpha dr <br />
<br />
E=\bigint_{-r}^{r}\frac{4kr^2\pi\alpha dr }{r^2}<br />
=4k\pi\alpha\bigint_{-r}^{r}dr<br />
=\frac{6k}{r^2}<br />
Le Chat est déconnecté  
Vieux 14/08/2013, 15h08
Skullkid
Membre Complexe
 
Avatar de Skullkid
 
Sur Maths-Forum depuis: août 2007
Localisation: Stockholm
Messages: 2 733
Par défaut

Je suppose que alpha est la densité volumique de charges (et que donc dans ton énoncé tu as juste une boule chargée, sans charge surfacique supplémentaire). Il y a beaucoup d'erreurs :

1 - Une boule c'est tridimensionnel, donc le champ infinitésimal pertinent c'est celui créé par un petit volume de ta boule, autrement dit tu fais déjà fausse route quand tu n'écris qu'une intégrale de -r à r. Ta première égalité serait exacte si ton dE était le champ créé une tranche de ta distribution de charges et que le r était le rayon de la boule, mais évidemment ce dE-là a une expression qui n'est pas immédiate...

2 - On ne sait pas ce que veut dire ton r. Comme tu écris dE = k*dq/r^2, on imagine que c'est la distance entre le centre de la boule et le point où tu calcules le champ, mais dans ce cas rien ne justifie d'intégrer de -r à r, puisque r n'a rien à voir avec les propriétés de la distribution de charges.

3 - Tu écris dq = 4pi*alpha*r^2*dr donc ce coup-ci tu considères r comme une variable d'intégration, le "rayon courant" de la coquille sphérique infiniment fine que tu considères. Tu utilises donc la même lettre pour nommer 3 objets différents (rayon de la boule, variable d'intégration et distance entre le point où tu calcules le champ et le centre de la boule).

4 - Ta dernière égalité est fausse, l'intégrale de dr entre -r et r égale 2r, donc tes calculs devraient te donner 8k*pi*alpha*r (qui est faux puisque ce n'est pas le bon calcul que tu fais, mais au moins c'est homogène).

Il faut commencer par bien poser le problème. On appelle O le centre de la boule chargée, R son rayon, M le point en lequel on veut calculer le champ, qui est à une distance r de O. Comme dit, le problème est 3D et le champ électrique est un vecteur, on considère donc un petit volume d^3P centré autour d'un point P et on appelle dE le vecteur champ électrique au point M dû à d^3P. Comme d^3P peut être vu comme une charge ponctuelle de charge alpha*d^3P, on peut écrire :

\vec{dE}=\frac{k\alpha d^3P}{|PM|^3}\vec{PM}

C'est donc ce truc-là que tu dois intégrer sur tous les points P de ta distribution de charge. Si tu choisis d'intégrer en coordonnées sphériques (r',theta,phi), tu tombes sur

\vec{E}=\iiint\frac{k\alpha r'^2\sin\theta dr'd\theta d\phi}{(r^2+r'^2-2rr'\cos\theta)^{3/2}}\left[(r-r'\cos\theta)\frac{\vec{OM}}{|OM|}+r'\sin\theta \cos\phi \vec{x}+r'\sin\theta\sin\phi \vec{y}\right]

où l'intégration se fait pour r' de 0 à R, theta de 0 à pi et phi de 0 à 2pi, et x et y sont deux vecteurs unitaires fixes qui forment une base orthonormée avec \vec{OM}/|OM|. Des arguments de parité impliquent que la contribution des termes en x et y est nulle une fois l'intégration faite, donc il te reste à calculer

\vec{E}=\frac{\vec{OM}}{|OM|}\iiint\frac{k\alpha r'^2\sin\theta dr'd\theta d\phi}{(r^2+r'^2-2rr'\cos\theta)^{3/2}}(r-r'\cos\theta)

ce qui n'est pas nécessairement une partie de plaisir... D'où l'utilisation du thérorème de Gauss pour se simplifier la vie.
Skullkid est déconnecté  
Vieux 22/08/2013, 04h09
Luc
Membre Complexe
 
Avatar de Luc
 
Sur Maths-Forum depuis: janvier 2006
Messages: 1 829
Par défaut

Salut,

juste une question si on n'a pas envie d'intégrer le truc moche : dans le cas particulier qui nous intéresse r >> a (et donc aussi r >> R), on ne peut pas considérer qu'on se ramène au champ d'un dipôle sur son axe?
Luc est déconnecté  
Vieux 22/08/2013, 14h22
Skullkid
Membre Complexe
 
Avatar de Skullkid
 
Sur Maths-Forum depuis: août 2007
Localisation: Stockholm
Messages: 2 733
Par défaut

Pour la fin de l'exercice de chelsea-asm (l'intégrale moche de mon post précédent c'est juste pour la boule uniformément chargée, si on s'interdit le théorème de Gauss), oui on peut utiliser l'expression du champ engendré par un dipôle, mais à mon avis ce n'est pas l'esprit de l'exercice : le dipôle n'est pas introduit en tant que tel, sa géométrie est très simple, on ne demande le champ que sur son axe et les questions précédentes font calculer les champs qu'il y a à sommer pour trouver la réponse.
Skullkid est déconnecté  

Outils de la discussion Rechercher
Rechercher:

Recherche avancée
Modes d'affichage



Discussions similaires
Discussion Forum Réponses Dernier message
champ electrostatique Forum Physique 1 24/04/2013
HELP !! Finalisation de la théorie des cordes... Forum Physique 21 03/03/2013
champ électrostatique Forum Physique 1 10/02/2013
Tour oscillations Forum Physique 0 27/01/2013
Recherche exercices sur les bras de levier Forum Physique 28 21/07/2012
Champ magnétique d'une charge non accélérée Forum Physique 9 16/01/2011
Champ electrostatique créé par uncylindre chargé en surface; Forum Physique 1 18/09/2010
Charge dans un champ magnétique et électrostatique constants Forum Physique 7 22/06/2010
Le champ électrique Forum Physique 1 09/04/2008
Les champs Forum Physique 27 04/02/2007

Règles des messages du forum de mathématiques
Vous pouvez ouvrir de nouvelles discussions : nonoui
Vous pouvez envoyer des réponses : nonoui
Vous pouvez insérer des pièces jointes : nonoui
Vous pouvez modifier vos messages : nonoui

Les balises BB sont activées : oui
Les smileys sont activés : oui
La balise [IMG] est activée : oui
Le code HTML peut être employé : non


Forum de maths © 2003-2014 Maths-Forum. Tous droits réservés.
FAQ   Contact