Devoir maison seconde "fonction usuelle" pour mon fils

[wacou2]

Bonjour, mon fils est en seconde, il doit faire un exercice auquel je ne comprend pas grand chose... J'aimerais avoir cet exercice pour voir si je ne me trompe pas en lui expliquant. merci d'avance

voici l'exercice :

soit le rctangle ABCD de centre O, de longueur AB = 8 cm et de largeur BC + 4 cm.
M est un point du segment [AB].
on note x = AM.
La droite (OM) coupe (CD) en N et la parallèle à (BD) passant par N coupe (BC) en P.
On cherche à trouver pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire du triangle MNP est maximale.
1° Montrer que le trapeze MBCN a une aire constante. (qu'est-ce qu'une aire constante ?)
2° Déterminer les aires des triangles BMP et PNC en fonction de x.
3° Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme :
f(x) = 8- 1/2 (x-4)²


merci beaucoup

[Sve@r]

1° Montrer que le trapeze MNCN a une aire constante.

MNCN n'est pas un trapèze ??? !!! ??? :hein:
MNCB peut-être ??? En tout cas lui il a une aire constante.
Formule de l'aire d'un trapèze ? (niveau 5°): (grande base + petite base) * h /2

C'est quoi la grande base ? C'est MB
La petite base: NC
La hauteur: BC

Exprimer MB en fonction de x, NC en fonction de x et appliquer la formule => les x disparaissent donc l'aire devient constante.

(qu'est-ce qu'une aire constante ?)

Etant donné que M peut varier sur AB, on serait en droit de penser que l'aire du trapèze changera en fonction de la variation. Or on s'aperçoit par le calcul qu'il n'en est rien => quelle que soit la position de M, l'aire MNCB ne change pas => elle reste constante. D'ailleurs en faisant un dessin on voit que si MB augmente alors NC diminue dans la même proportion (normal, ils sont solidaires de la droite MON). Et comme BC ne change jamais...
Autre façon de voir: MN partage le rectangle en 2 parties toujours égales quelle que soit la position de M...

[wacou2]

merci pour la rectification !

[Sve@r]

2° Déterminer les aires des triangles BMP et PNC en fonction de x.

Formule de la surface d'un triangle (6° ou peut-être 5°): base x hauteur / 2
Un triangle a 3 bases et 3 hauteurs associées mais dans le triangle NCP, les éléments connus sont NC et CP (sauf que je n'arrive pas encore à trouver CP. J'ai d'abord cru que c'était x mais en faisant un dessin plus grand j'ai vu que c'était pas ça donc c'est un détail qui manque mais qui "devrait" être facile à trouver. Peut-être x/2 car CD est la moitié de AB mais c'est à démontrer)

Donc, sous réserve que CP soit trouvé et démontré, en appliquant simplement la formule, on trouve l'aire de NCP en fonction de x
Pour BMP c'est encore une fois pareil. Si on a CP alors on a PB et avec AM on a MB donc on a là aussi l'aire de BMP assez facilement

3° Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme :
f(x) = 8- 1/2 (x-4)²

Je présume que f(x) c'est l'aire de MNP. Ben on a l'aire de MNCB, l'aire de NCP et l'aire de PBM. f(x) c'est simplement l'aire du trapèze moins les aires des deux triangles du 2° (un dessin permet de mieux voir)...

[wacou2]

merci enormément de votre aide.

[Sve@r]

sauf que je n'arrive pas encore à trouver CP. J'ai d'abord cru que c'était x mais en faisant un dessin plus grand j'ai vu que c'était pas ça donc c'est un détail qui manque mais qui "devrait" être facile à trouver. Peut-être x/2 car CD est la moitié de AB mais c'est à démontrer

Bon, j'ai trouvé CP par tatonnements. Si on place M milieu de AB, on a P au milieu de CD et si on déplace M vers A, P remonte doucement vers C pour ateindre C lorsque M est en A.
Donc comme P ne parcourt que la moitié parcourue par M (puisque CD moitié de AB), CP est bien égal à x/2 (attention, ce n'est pas une démonstration, c'est juste un raisonnement basé sur l'expérimentation donc ça n'a aucune valeur)

En tout cas ça donne la bonne formule en 3°.

[Sve@r]

Donc, sous réserve que CP soit trouvé et démontré

Ca y est - CP est trouvé => Il faut regarder les triangles CNP et CDB => ils sont homothétiques