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Vieux 08/05/2005, 17h53
flyjodel
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Par défaut coordonnées de la projection d'un point sur une droite

Bonjour, la géométrie analytique est un peu loin maintenant, et je recherche une formule qui (en deux dimensions) me donne les coordonnées de la projection d'un point sur une droite.

Les éléments à ma disposition sont les coordonnées des deux points qui définissent cette droite, ainsi que les coordonnées cartésiennes du point à projeter orthogonalement.

Merci !


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Vieux 08/05/2005, 18h18
PaTaPoOF
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Bonjour,
Une petite formule qui se démontre facilement avec les produits scalaires :
Soit le point A(x_0,y_0)
Et la droite D:ax+by+c=0

La distance de A à D vaut :

d(A,D)=\frac{|ax_o+by_o+c|}{sqrt{a^2+b^2}}
PaTaPoOF est déconnecté  
Vieux 08/05/2005, 18h19
PaTaPoOF
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Zut j'avais mal lu ce que tu cherchais, fais comme si mon message n'existait pas :rolleyes:
PaTaPoOF est déconnecté  
Vieux 08/05/2005, 19h01
flyjodel
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en effet, la distance à la droite est souvent évoquée mais ce n'est pas ce que je cherche.

Il me faut les coordonnées de l'intersection entre une droite et la perpendiculaire à celle-ci, passant par le moint A(x0,y0)

Michel
flyjodel est déconnecté  
Vieux 08/05/2005, 19h18
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avec l'équation de la droite et un produit scalaire, tu obtiens ça facilement
soit AB les points qui définissent la droite
C un point et D son projeté orthogonal sur la droite

avec les coordonnées de A et B tu connais l'équation de la droite
vecAB . vecCD = 0
avec a et b les coordonnées de D, cela te donne une autre droite

l'intersection des deux droites est le point D
on trouve ces coordonnées avec les deux équations de droites

cqfd ?
 
Vieux 08/05/2005, 19h57
flyjodel
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oui, c'est bien ce que je cherchais, mais sans passer par les produits scalaires :

soit D1 la droite sur laquelle je projette le point D(x0,y0) :
D1 : y=a.x+b

soit D2 une droite perpendiculaire à D1 :
D2 : y=(-1/a).x+c

Or D(x0,y0) appartient à cette droite D2, donc ses coordonnées vérifient l'équation de D2, soit :
D2 : y=(-1/a).x+(y0+1/a.x0)

l'intersection G de D1 et D2 est donnée en vérifiant les équations de D1 ET de D2, soit :
Gx = (x0-b+a.y0)/(1+a²)
Gy = b + a.(x0-b+a.y0)/(1+a²)

pas d'erreur ?
Merci
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Vieux 09/05/2005, 15h42
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pas d'erreur, ça marche

mais jamais un prof ne m'a fait écrire dans mon cours que le produit des coefficients directeurs de deux droites perpandiculaires faisait nécessairement -1
c'est pourquoi je ne sais pas si cette démonstration est acceptée
 
Vieux 09/05/2005, 22h49
flyjodel
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en considérant deux points A(x_1,y_1) et B(x_2,y_2) qui définissent la droite D_1
et un point M(x_0,y_0) à projeter en G(x,y) sur la droite D_1 :

j'obtiens l'équation de la droite D_1 : y=ax+b
Soit la droite D_2 perpendiculaire à D_1, elle a pour équation : D_2 : y=\frac{-1}{a}x+c

en vérifiant que les coordonnées de A et de B vérifient l'équation de D_1 on obtient :
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
b=\frac{y_2x_1-y_1x_2}{x_2-x_1}

puis en vérifiant que M appartient à la droite D_2 :
c=y_0+\frac{1}{a}x_0

A présent je cherche l'intersection G(x,y) de D_1 et de D_2. J'obtiens x en soustrayant les équations de D_1 et de D_2, et y en les additionnant soit :
x=\frac{c-b}{a+\frac{1}{a}}
y=\frac{b+a^2c}{1+a^2}

et en remplaçant a, b et c par leurs expressions données plus haut, j'obtiens :

x=\frac{y_0+\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}x_0-\frac{y_2x_1-y_1x_2}{x_2-x_1}}{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}}

y=\frac{\frac{y_2x_1-y_1x_2}{x_2-x_1}+(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})^2.(y_0+\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}x_0)}{1+(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})^2}

ces expressions reportées dans Excel ne donnent pas les résultats escomptés.

Quelqu'un saurait-il où est mon erreur, et d'autre part aurait-il assez de malice pour factoriser tout ceci de manière plus élégante ?

Merci
flyjodel est déconnecté  
Vieux 16/06/2005, 22h22
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Exclamation correction

Il me semble qu'il y a une erreur dans les coordonnees de Gx et Gy dans le message de flyjodel. Ce devrait etre:
Gx = (x0-a.b+a.y0)/(1+a²)
Gy = b + a.(x0-a.b+a.y0)/(1+a²)
('b' doit etre multitplie par 'a' dans la parenthese).

En effet on doit resoudre:
y=(-1/a).x+(y0+1/a.x0)
y=a.x+b

ce qui donne:
a.x+b = (-1/a).x+(y0+1/a.x0) ==> (a+1/a).x = y0+1/a.x0-b
==> x = (y0+1/a.x0-b)/(a+1/a) = (x0-a.b+a.y0)/(1+a²) = Gx
 
Vieux 27/10/2012, 15h07
gourky
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Citation:
Posté par flyjodel

b=\frac{y_2x_1-y_1x_2}{x_2-x_1}


En décomposant b, je trouve (le dénominateur est inversé):

b=\frac{y_2x_1-y_1x_2}{x_1-x_2}

Mais cela ne marche pas pour une droite verticale...

(Je sais, cela fait 7 ans mais si quelqu'un comme moi tombe dessus).

j'obtiens ainsi :

x=\frac{(c-b).a}{aa+1}

Pour y, il suffit de résoudre y = ax + b

Les résultats sont bons de mon côté

Dernière modification par gourky 28/10/2012 à 18h39.
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