coordonnées de la projection d'un point sur une droite

flyjodel

Bonjour, la géométrie analytique est un peu loin maintenant, et je recherche une formule qui (en deux dimensions) me donne les coordonnées de la projection d'un point sur une droite.

Les éléments à ma disposition sont les coordonnées des deux points qui définissent cette droite, ainsi que les coordonnées cartésiennes du point à projeter orthogonalement.

Merci !

PaTaPoOF

Bonjour,
Une petite formule qui se démontre facilement avec les produits scalaires :
Soit le point
Et la droite D:ax+by+c=0

La distance de A à D vaut :

PaTaPoOF

Zut j'avais mal lu ce que tu cherchais, fais comme si mon message n'existait pas :rolleyes:

flyjodel

en effet, la distance à la droite est souvent évoquée mais ce n'est pas ce que je cherche.

Il me faut les coordonnées de l'intersection entre une droite et la perpendiculaire à celle-ci, passant par le moint A(x0,y0)

Michel

Non inscrit

avec l'équation de la droite et un produit scalaire, tu obtiens ça facilement
soit AB les points qui définissent la droite
C un point et D son projeté orthogonal sur la droite

avec les coordonnées de A et B tu connais l'équation de la droite
vecAB . vecCD = 0
avec a et b les coordonnées de D, cela te donne une autre droite

l'intersection des deux droites est le point D
on trouve ces coordonnées avec les deux équations de droites

cqfd ?

flyjodel

oui, c'est bien ce que je cherchais, mais sans passer par les produits scalaires :

soit D1 la droite sur laquelle je projette le point D(x0,y0) :
D1 : y=a.x+b

soit D2 une droite perpendiculaire à D1 :
D2 : y=(-1/a).x+c

Or D(x0,y0) appartient à cette droite D2, donc ses coordonnées vérifient l'équation de D2, soit :
D2 : y=(-1/a).x+(y0+1/a.x0)

l'intersection G de D1 et D2 est donnée en vérifiant les équations de D1 ET de D2, soit :
Gx = (x0-b+a.y0)/(1+a²)
Gy = b + a.(x0-b+a.y0)/(1+a²)

pas d'erreur ?
Merci

Non inscrit

pas d'erreur, ça marche

mais jamais un prof ne m'a fait écrire dans mon cours que le produit des coefficients directeurs de deux droites perpandiculaires faisait nécessairement -1
c'est pourquoi je ne sais pas si cette démonstration est acceptée

flyjodel

en considérant deux points et qui définissent la droite
et un point à projeter en sur la droite :

j'obtiens l'équation de la droite
Soit la droite perpendiculaire à , elle a pour équation :

en vérifiant que les coordonnées de A et de B vérifient l'équation de on obtient :



puis en vérifiant que M appartient à la droite :


A présent je cherche l'intersection de et de . J'obtiens en soustrayant les équations de et de , et en les additionnant soit :



et en remplaçant a, b et c par leurs expressions données plus haut, j'obtiens :





ces expressions reportées dans Excel ne donnent pas les résultats escomptés.

Quelqu'un saurait-il où est mon erreur, et d'autre part aurait-il assez de malice pour factoriser tout ceci de manière plus élégante ?

Merci

Non inscrit

Il me semble qu'il y a une erreur dans les coordonnees de Gx et Gy dans le message de flyjodel. Ce devrait etre:
Gx = (x0-a.b+a.y0)/(1+a²)
Gy = b + a.(x0-a.b+a.y0)/(1+a²)
('b' doit etre multitplie par 'a' dans la parenthese).

En effet on doit resoudre:
y=(-1/a).x+(y0+1/a.x0)
y=a.x+b

ce qui donne:
a.x+b = (-1/a).x+(y0+1/a.x0) ==> (a+1/a).x = y0+1/a.x0-b
==> x = (y0+1/a.x0-b)/(a+1/a) = (x0-a.b+a.y0)/(1+a²) = Gx