Analyse numérique: méthode de Newton

[shepherd1988]

salut
je vais vous mettre un petit exercice et si quelqu'un peut m'expliquer comment le résoudre avec la méthode de Newton car je n'ai pas du tout compris ce que je dois faire! la méthode parait simple mais je n'ai pas pu l'appliquer et le prof n'a pas fait d'exemple ni en cours ni en TD! Excusez moi si c'est trop simple mais bon, je compte sur vous pour me faciliter la tache
j'ai
f(x)= x-e(-1-x)
g(x)=e(-1-x)
j'ai trouvé l dans [0,1] et la méthode est CV dans [0,1] avec la méthode du point fixe!
on me demande de
1)définir la méthode de newton pour la recherche de l, préciser dans ce cas le chois de x0 pour que la suite définie par la méthode de newton converge vers l
2) on prend x0=0 et on se propose de faire 3 itérations avec la méthode de Newton! calculer x3!


merci bcp de votre aide
je sais que c'est hyper facile mais bon j'arrive pas à comprendre! l'exemple me facilitera tout

[Maxmau]

salut
je vais vous mettre un petit exercice et si quelqu'un peut m'expliquer comment le résoudre avec la méthode de Newton car je n'ai pas du tout compris ce que je dois faire! la méthode parait simple mais je n'ai pas pu l'appliquer et le prof n'a pas fait d'exemple ni en cours ni en TD! Excusez moi si c'est trop simple mais bon, je compte sur vous pour me faciliter la tache
j'ai
f(x)= x-e(-1-x)
g(x)=e(-1-x)
j'ai trouvé l dans [0,1] et la méthode est CV dans [0,1] avec la méthode du point fixe!
on me demande de
1)définir la méthode de newton pour la recherche de l, préciser dans ce cas le chois de x0 pour que la suite définie par la méthode de newton converge vers l
2) on prend x0=0 et on se propose de faire 3 itérations avec la méthode de Newton! calculer x3!


merci bcp de votre aide
je sais que c'est hyper facile mais bon j'arrive pas à comprendre! l'exemple me facilitera tout

Méthode Newton pour la résolution de F(x) = 0

Soit F C² sur [a,b] telle que ;
F(a)F(b) 0 et F’’<= 0 sur [a,b] (il y a 3 autres cas)

Je note :
M1 le Max de |F’’| sur [a,b], m1 le Min de |F’| sur [a,b], M = M1/2m1 et L l’unique racine de F(x) = 0 dans [a,b]
Si Xn est entre a et L, le point d’intersection de la tangente en (Xn , F(Xn) ) à la courbe avec l’axe des x a pour abscisse : Xn+1 = Xn – F(Xn)/F’(Xn) d’où :
Xn+1 –L = Xn – L - F(Xn)/F’(Xn) = (1/F’(Xn)) [(Xn – L) F’(Xn) - F(Xn) ]
La formule de Taylor appliquée à F entre Xn et L donne alors :
0 = F(L) = F(Xn) + (L – Xn) F’(Xn) + [(L – Xn)²/2] F’’(;)n) où n est entre Xn et L
D’où : Xn+1 –L = [(L – Xn)² [F’’(;)n)/2 F’(Xn)]
Et | Xn+1 –L | <= M [(L – Xn)²
Il est facile de déduire de ce qui précède que la suite définie par :
X0 =a et Xn+1 = Xn – F(Xn)/F’(Xn) est une suite croissante de [a,b] qui converge très rapidement vers L

Il est utile de faire un graphique pour induire le comportement de la suite et voir de quel point partir (a ou b) selon le cas pour assurer la convergence.

Bon courage pour l’exemple à traiter (il suffit d’appliquer ce qui précède)

[shepherd1988]

Méthode Newton pour la résolution de F(x) = 0

Soit F C² sur [a,b] telle que ;
F(a)F(b) 0 et F’’<= 0 sur [a,b] (il y a 3 autres cas)

Je note :
M1 le Max de |F’’| sur [a,b], m1 le Min de |F’| sur [a,b], M = M1/2m1 et L l’unique racine de F(x) = 0 dans [a,b]
Si Xn est entre a et L, le point d’intersection de la tangente en (Xn , F(Xn) ) à la courbe avec l’axe des x a pour abscisse : Xn+1 = Xn – F(Xn)/F’(Xn) d’où :
Xn+1 –L = Xn – L - F(Xn)/F’(Xn) = (1/F’(Xn)) [(Xn – L) F’(Xn) - F(Xn) ]
La formule de Taylor appliquée à F entre Xn et L donne alors :
0 = F(L) = F(Xn) + (L – Xn) F’(Xn) + [(L – Xn)²/2] F’’(;)n) où n est entre Xn et L
D’où : Xn+1 –L = [(L – Xn)² [F’’(;)n)/2 F’(Xn)]
Et | Xn+1 –L | <= M [(L – Xn)²
Il est facile de déduire de ce qui précède que la suite définie par :
X0 =a et Xn+1 = Xn – F(Xn)/F’(Xn) est une suite croissante de [a,b] qui converge très rapidement vers L

Il est utile de faire un graphique pour induire le comportement de la suite et voir de quel point partir (a ou b) selon le cas pour assurer la convergence.

Bon courage pour l’exemple à traiter (il suffit d’appliquer ce qui précède)

SVP, est ce que vous pourriez m'expliquer avec l'exemple comment procéder?? parce que c'est exactement ce que j'ai dans mon cours mais je bloque complétement pour l'appliquer! j'espère que je ne vous dérange pas et merci infiniment pour votre aide!!

[Maxmau]

SVP, est ce que vous pourriez m'expliquer avec l'exemple comment procéder?? parce que c'est exactement ce que j'ai dans mon cours mais je bloque complétement pour l'appliquer! j'espère que je ne vous dérange pas et merci infiniment pour votre aide!!

Dans ton exo, F(x)=f(x) = x – Exp(-1-x) et [a,b] = [0,1] ;
f’(x) = 1 + Exp(-1-x)
On a : f(0) 0 , f’ > 0 donc l’équation f(x) = 0 admet une racine L entre 0 et 1 (th des valeurs intermédiaires) et une seule (car f est strictement croissante).
De plus f’’ < 0. La théorie montre qu’en partant de X0=0, la méthode de newton génère une suite qui converge vers L (et très rapidement).
X0=0
X1 = X0 - f(X0)/f’(X0) = - f(0)/f’(0) = 0,269
X2 = X1 - f(X1)/f’(X1) = 0,269 – f(0,269)/f’(0,269) =
X3 = X2 - f(X2)/f’(X2)
Vérifie et termine
Bon courage

[shepherd1988]

Dans ton exo, F(x)=f(x) = x – Exp(-1-x) et [a,b] = [0,1] ;
f’(x) = 1 + Exp(-1-x)
On a : f(0) 0 , f’ > 0 donc l’équation f(x) = 0 admet une racine L entre 0 et 1 (th des valeurs intermédiaires) et une seule (car f est strictement croissante).
De plus f’’ < 0. La théorie montre qu’en partant de X0=0, la méthode de newton génère une suite qui converge vers L (et très rapidement).
X0=0
X1 = X0 - f(X0)/f’(X0) = - f(0)/f’(0) = 0,269
X2 = X1 - f(X1)/f’(X1) = 0,269 – f(0,269)/f’(0,269) =
X3 = X2 - f(X2)/f’(X2)
Vérifie et termine
Bon courage

merci beaucoup beaucoup beaucoup, je ne saurais comment vous remercier!!