Dm analyse numérique-méthode itérative

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chouette39
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Dm analyse numérique-méthode itérative

par chouette39 » 16 Avr 2014, 22:12

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour mon DM d'analyse numérique.... J'aurais besoin d'aide pour toutes les questions suivantes, je n'ai aucune idée... :cry:

Soit A appartenant à Mn(R), une matrice symétrique. On note sp(A):={a1,...an}. Soit i0=1....n. On cherche à approcher un vecteur propre de A associé à la valeur propre ai0.
On suppose b appartenant à R tel que 0<|b-ai0|<|b-aj| pour tout j différent de i0.

On considère la méthode itérative suivante :
X0 dans Rn donné, (A-bI)Xk+1 = Xk pour tout k de N.
On suppose que X0 n'appartient pas à l’orthogonale de (Ker(A-ai0)). On note B la matrice telle que Xk+1 = Bxk.

1.Vérifier que la matrice A-bI est inversible.
2. Déterminer le rayon spectral de B.
3.Expliciter Ker(A-ai0) à l'aide de B.
4. Montrer qu'il existe x de Rn, x différent de 0 tel que lim (b-ai0)^k Xk = x et Ax = ai0 X quand k tend vers l'infini.
5. Montrer que lim ||Xk+1||/ ||Xk|| = 1/ |b-ai0| quand k tend vers l'infini.


Merci pour toutes réponses....



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zygomatique
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par zygomatique » 16 Avr 2014, 23:19

salut

si b n'est pas valeur propre de A alors A - bI est trivialement inversible par définition d'une valeur propre ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

chouette39
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par chouette39 » 17 Avr 2014, 09:03

D'accord, merci pour cette réponse rapide, pour la question 1 du coup j'ai compris!

chouette39
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par chouette39 » 19 Avr 2014, 12:45

Merci, du coup pour la question 1 j'ai réussi à démontrer que la matrice était bien inversible.
Pour la question 2, j'ai trouvé que le rayon spectral de B est égale à : 1 / min(|di|, i=1...n) où sp(A-bI) = {di, i=1...n}. Je ne pense pas que je puisse aller plus loin dans le résultat, si ?
Et pour la suite je suis toujours totalement bloquée....

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Ben314
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par Ben314 » 19 Avr 2014, 14:54

chouette39 a écrit:... : 1 / min(|di|, i=1...n) où sp(A-bI) = {di, i=1...n}. Je ne pense pas que je puisse aller plus loin dans le résultat, si ?
Evidement que si : tu sait que sp(A):={a1,...an} donc sp(A-bI)=....
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chouette39
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par chouette39 » 22 Avr 2014, 14:30

Oui du coup ça c'est bon j'ai compris la relation qu'il fallait trouver. J'ai trouvé aussi les 2 dernières questions grâce à des théorèmes dans mon cours. Pour la question 3 par contre, j'obtiens que :
Ker(B) = Ker ( (A-bI)^-1)) = Ker (A-bI)...
Mais il me manque le passage, pour avoir du Ker(A-ai0 I)...

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Ben314
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par Ben314 » 22 Avr 2014, 16:26

chouette39 a écrit:... Ker(B) = Ker ( (A-bI)^-1)) = Ker (A-bI)...
Bon, j'ai pas le temps de détailler (j'ai cours dans 5'), mais ça, ç'est assez clair que ça risque pas d'aider à grand chose...
Rien que d'écrire Ker(M^{-1}) pour une matrice M, c'est déjà trés "concon" : si M est inversible elle (et son inverse) sont évidement bijective donc ont un noyau réduit à {0}...
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chouette39
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par chouette39 » 22 Avr 2014, 16:33

Oui du coup ça ne me donne rien, vu que (A-bI) est inversible mais je ne vois pas comment partir pour avoir la relation entre le noyau de B et celui de (A-ai0I)....

chouette39
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par chouette39 » 22 Avr 2014, 16:56

En utilisant le fait que sp(B) = {1/(b-ai0)} et que Ker(A-ai0I) = Eai0 c'est à dire le sous espace propre associé à la valeur propre ai0, est ce que l'on pourrait pas obtenir quelque chose ?

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Ben314
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par Ben314 » 22 Avr 2014, 21:36

A mon avis, vu la question
3.Expliciter Ker(A-ai0) à l'aide de B.,
On te demande juste d'exprimer à l'aide de le fait qu'un vecteur est dans .

Comme par définition, , on a et donc la série d'équivalences :



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chouette39
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par chouette39 » 22 Avr 2014, 22:28

Merci beaucoup pour votre réponse, je pense que je vais expliquer ce que vous avez marqué, en espérant que ce soit ce qui était demandé.... Encore merci à tous pour vos explications, qui m'ont permis de mieux comprendre ce que je devais faire ! :lol3:

 

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