Étude de la convergence d'une suite de fonctions

[Baduld]

Bonsoir, je me permets de demander votre aide charitable sur le forum car je suis en pleine révisions pour des partiels de L2 mathématiques, et en refaisant des exercices sur les suites et séries de fonctions, je suis bloqué sur celui la :

gn(t) est une suite de fonctions définies sur par



Sachant que

On me demande d'étudier la convergence simple et uniforme de cette suite de fonctions. Autant pour la convergence simple, 0 soucis, mais la convergence uniforme je suis complétement bloqué

Je sais que gn(t) convergence simplement vers 0, donc il faut que je trouve si sup() tend vers 0 quand n tend vers +inf.

Pour trouver le sup, j'ai essayé de faire une dérivation, sans succès.

Pourriez vous m'aider ? Merci d'avance

NB : L'exercice nous donne une indication, trouver les varions pour .

[Ben314]

Salut,
- La majoration "basique" donne qui tend vers et qui est indépendant de à condition de considérer que .
Donc la suite de fonction converge uniformément vers sur tout intervalle de la forme avec fixé et ça signifie que le problème, c'est pour proche de 0.
- Pour relativement proche de , la majoration classique, c'est plutôt qui donne cette fois qui ne tend absolument par vers lorsque (et pour cause : ça ne dépend même pas de !!!)
Mais par contre, est proche de lorsque est proche de (vu que ) donc en regroupant ça avec le premier point, on devrait pouvoir s'en sortir.
Voit tu comment ?

[Baduld]

Salut,
- La majoration "basique" donne qui tend vers et qui est indépendant de à condition de considérer que .
Donc la suite de fonction converge uniformément vers sur tout intervalle de la forme avec fixé et ça signifie que le problème, c'est pour proche de 0.
- Pour relativement proche de , la majoration classique, c'est plutôt qui donne cette fois qui ne tend absolument par vers lorsque (et pour cause : ça ne dépend même pas de !!!)
Mais par contre, est proche de lorsque est proche de (vu que ) donc en regroupant ça avec le premier point, on devrait pouvoir s'en sortir.
Voit tu comment ?

Re, merci pour ta réponse rapide et tes explications !

Pour être honnête avec toi autant j’ai compris la 1ère partie de ta réponse, autant la deuxième partie avec t proche de 0 j’ai du mal à comprendre. J’arrive pas à voir le lien entre le fait que t > 0 et quand t est proche de 0.

Si tu peux éclairer ma lanterne ça serait gentil merci

[Ben314]

Ben, faut dire que "t proche de 0", mathématiquement parlant, ça ne veut rien dire donc c'est un peu normal que tu voient pas ce que ça signifie exactement. On va dire que c'est pour "fixer les idées" qu'on utilise ça.

Sinon, pour donner un peu plus d'indication, ce que tu as c'est :
lorsque (car donc est croissante).
lorsque (car donc est croissante).

Si on veut une majoration valable pour tout les réels , ben y'a qu'a prendre le plus grand des deux majorants. Et il faudrait rendre ce majorant "global" le plus petit possible (attention à bien comprendre que le utilisé ici a parfaitement le droit de dépendre de )

P.S. : Je précise que j'ai pas trop compris l'utilité de "l'indication" que tu donne donc que la voie que je te propose de suivre n'utilise pas cette indication (et d'ailleurs, à froid, je vois pas bien comment l'utiliser l'indication en question... )

[Baduld]

Ben, faut dire que "t proche de 0", mathématiquement parlant, ça ne veut rien dire donc c'est un peu normal que tu voient pas ce que ça signifie exactement. On va dire que c'est pour "fixer les idées" qu'on utilise ça.

Sinon, pour donner un peu plus d'indication, ce que tu as c'est :
lorsque (car donc est croissante).
lorsque (car donc est croissante).

Si on veut une majoration valable pour tout les réels , ben y'a qu'a prendre le plus grand des deux majorants. Et il faudrait rendre ce majorant "global" le plus petit possible (attention à bien comprendre que le utilisé ici a parfaitement le droit de dépendre de )

P.S. : Je précise que j'ai pas trop compris l'utilité de "l'indication" que tu donne donc que la voie que je te propose de suivre n'utilise pas cette indication (et d'ailleurs, à froid, je vois pas bien comment l'utiliser l'indication en question... )

Ah oui je vois c’est beaucoup plus clair , et maintenant tu me conseillerais de faire un tableau de variation avec les 2 majorants ?

[Ben314]

Tu peut, mais bon, c'est pas franchement utile : le premier majorant est clairement décroissant (par rapport à bien sûr) et le deuxième croissant : avec ça on visualise bien la forme de la courbe correspondant au max des deux et on voit bien quel prendre pour rendre ce max le plus petit possible.

[Baduld]

Tu peut, mais bon, c'est pas franchement utile : le premier majorant est clairement décroissant (par rapport à bien sûr) et le deuxième croissant : avec ça on visualise bien la forme de la courbe correspondant au max des deux et on voit bien quel prendre pour rendre ce max le plus petit possible.

D'accord, si je comprends bien, le doit être le plus proche possible de 0 pour que le max soit le plus petit possible ?

[tournesol]

Si on utilise la majoration
mais dans ce cas , comme , la majoration devient
si on utilise la majoration qui est égal a
Mais dans ce cas , comme , la majoration devient
Cette majoration s'applique aussi pour t=0
La suite est évidente.

[Ben314]

D'accord, si je comprends bien, le doit être le plus proche possible de 0 pour que le max soit le plus petit possible ?

Hummm., pas vraiment :
La première fonction est croissante (et part de 0 pour aller à +oo), la deuxième est décroissante (et part de +oo pour aller à 0) donc la fonction "max des deux", au début c'est la deuxième donc ça décroit, puis c'est la première donc ça croit. Et le minimum du max des deux est obtenu à l'endroit où les deux courbes se coupent.
Aprés un mini calcul, on trouve que le optimum à prendre c'est qui conduit aux majorations données par tournesol dans le post ci-dessus.

[Baduld]

Si on utilise la majoration
mais dans ce cas , comme , la majoration devient
si on utilise la majoration qui est égal a
Mais dans ce cas , comme , la majoration devient
Cette majoration s'applique aussi pour t=0
La suite est évidente.

Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai tout compris, et je pense que l'exercice nous demandait de faire une étude entre et pour utiliser l'inégalité .

En tout cas merci pour votre aide à vous deux

[tournesol]

l'inégalité |sinx|<=|x| est vraie sur R
J'ai une autre remarque qui va suivre:

[Ben314]

Et l'autre inégalité |sin(x)|<=1 est aussi vrai pour tout réel x.
Par contre la première majoration (avec |x|) est évidement meilleure lorsque |x|<=1 et vu que dans l'exo le x en question, c'est nt, ça peut conduire dés le départ à scinder en deux selon que nt est plus petit ou plus grand que 1.

Mais ça explique pas le pi/2 de l'indication...

[tournesol]

Perso j'ai mis 1 pour faire simple mais ce qui est central , c'est nt .
la valeur de a peut être arbitraire non nulle. Il est inutile de l'optimiser.
Je reprends avec a>0 fixé
Si , j'utilise la majoration par
Mais comme dans ce cas , elle devient
si , j'utilise la majoration qui est égal à
Mais comme dans ce cas , elle devient
On obtient donc la majoration globale

[Baduld]

D'accord

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai bien compris grâce à vos explications !

[Baduld]

Juste je me permets de relancer le post car je voudrais m'assurer que mon raisonnement est bon pour cet autre exercice (qui traite toujours sur l'étude de convergence d'une suite de fonctions) :

Soit

définie sur R

Pour la convergence simple, j'ai trouvé que la suite de fonctions convergeait simplement vers la fonction

C'est pour la convergence uniforme où je ne suis pas sûr...

Pour trouver le sup, j'ai fait la dérivée pour les 2 cas, c'est à dire la dérivée de pour et la dérivée de pour

Pour , j'ai trouvé que cette fonction est toujours croissante, et en calculant sa limite en +inf (pour t), j'ai trouvé qu'elle tendait vers t.

Pour , est aussi strictement croissante, et la dérivée s'annule quand t=0.

En faisant la limite de la fonction quand t tend vers 0, j'ai trouvé 0...

Maintenant je sais pas comment conclure... pourriez vous m'aider ? Merci

[Ben314]

Le reste me semble O.K., mais j'ai de gros doute concernant la décroissance de sur (c'est quoi la limite en ? la valeur en ?)

[Baduld]

Le reste me semble O.K., mais j'ai de gros doute concernant la décroissance de sur (c'est quoi la limite en ? la valeur en ?)

J'ai trouvé qu'elle était croissante justement, et en 0, la fonction est nulle.

[Ben314]

Et la limite en -oo, c'est combien ?
Sinon, ce que tu doit évaluer, c'est la borne supérieure de |fn(t)-f(t)| sur le domaine d'étude (donc R ici).
Et dans cet exercice là, l'étude des variations de fn(t)-f(t) permet effectivement de déterminer la valeur de ce sup (alors que dans le précédent on a uniquement majoré ce sup) ce qui permet de voir s'il tend vers 0 ou pas lorsque n tend vers +oo.

[tournesol]

si t
Cette fonction est croissante et donc majorée par sa limite en qui est 1/n
si t<0 ,
Tu calcules la dérivée . Tu vas trouver un sup atteint en

[Baduld]

si t
Cette fonction est croissante et donc majorée par sa limite en qui est 1/n
si t<0 ,
Tu calcules la dérivée . Tu vas trouver un sup atteint en

Exact !

Je m'étais trompé sur mes calculs précédents, mais en les refaisant je tombe sur le même résultat.

Merci beaucoup !