Encadrer une fonction

[Spaiky1]

Bonjour,

Voilà j'ai un exercice à faire en DM et je bloque à certaines questions.
Voici l'énoncé:
On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=1/exp(x)+exp(-x)
et on désigne par T sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i,j).

1. Démontrer que la courbe T est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Je bloque déjà à cette question :s
Merci à l'avance pour votre aide

[titine]

Bonjour,

Voilà j'ai un exercice à faire en DM et je bloque à certaines questions.
Voici l'énoncé:
On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=1/exp(x)+exp(-x)
et on désigne par T sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i,j).

1. Démontrer que la courbe T est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Je bloque déjà à cette question :s
Merci à l'avance pour votre aide

Je pense que c'est f(x) = 1/(e^x + e^-x)
f(-x) = 1/(e^-x + e^x) = f(x)
Donc 2 nombres opposés x et -x ont la même image par f puisque f(-x) = f(x)
Cela prouve que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En effet 2 points de cette courbe qui ont des abscisses opposés ont la même ordonnée.
Dans ce cas là on parle de fonction paire (comme la fonction carrée par exemple)

[Spaiky1]

Je pense que c'est f(x) = 1/(e^x + e^-x)
f(-x) = 1/(e^-x + e^x) = f(x)
Donc 2 nombres opposés x et -x ont la même image par f puisque f(-x) = f(x)
Cela prouve que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En effet 2 points de cette courbe qui ont des abscisses opposés ont la même ordonnée.
Dans ce cas là on parle de fonction paire (comme la fonction carrée par exemple)

Merci beaucoup je pense que c'est ça (: !!

Ensuite pour la question 2 c'est : Démontrer que, pour tout nombre réel x positif ou nul, exp(-x);)exp(x)

J'ai trouvé ceci:
On cherche le signe de exp(x)-exp(-x) sur R+
On résout exp(x)-exp(-x) 0 (1)
(1) exp(x) exp(-x)
x;)-x
2x 0
Sur R+, 2x;)0 => pour tout x;)0, exp(x)-exp(-x);)0 => pour tout x;)0, exp(x);)exp(-x)

Est ce que cela est juste et bien justifié ?

3) a). Déterminer la limite de f en +;)

lim exp(x) = +;)
x ->+;)

lim exp(-x)=0
x ->+;)

Donc par somme et quotient lim f = 0
+;)
Est ce correct cette question ?

[titine]

Merci beaucoup je pense que c'est ça (: !!

Ensuite pour la question 2 c'est : Démontrer que, pour tout nombre réel x positif ou nul, exp(-x);)exp(x)

J'ai trouvé ceci:
On cherche le signe de exp(x)-exp(-x) sur R+
On résout exp(x)-exp(-x) 0 (1)
(1) exp(x) exp(-x)
x;)-x
2x 0
Sur R+, 2x;)0 => pour tout x;)0, exp(x)-exp(-x);)0 => pour tout x;)0, exp(x);)exp(-x)

Est ce que cela est juste et bien justifié ?

3) a). Déterminer la limite de f en +;)

lim exp(x) = +;)
x ->+;)

lim exp(-x)=0
x ->+;)

Donc par somme et quotient lim f = 0
+;)
Est ce correct cette question ?

C'est exact.
Mais pour la 2) tu as un peu compliqué !
Il suffit de dire :
Pour tout x positif : x -x
Donc, comme la fonction exp est croissante sur R : exp(x) exp(-x)

[Spaiky1]

C'est exact.
Mais pour la 2) tu as un peu compliqué !
Il suffit de dire :
Pour tout x positif : x -x
Donc, comme la fonction exp est croissante sur R : exp(x) exp(-x)

Ah oui c'est vrai j'ai un peu trop compliqué ! (:

et j'ai en question 4) :
on considère les fonctions g et h définies sur R+ par : g(x)=1/exp(x) et h(x)=1/2exp(x)
a). Démontrer que pour tout nombre réel x positif ou nul, h(x);)f(x)<g(x)
Je comprend pas pourquoi l'inégalité stricte entre f(x) et g(x) ???

Encore merci

[titine]

Ah oui c'est vrai j'ai un peu trop compliqué ! (:

et j'ai en question 4) :
on considère les fonctions g et h définies sur R+ par : g(x)=1/exp(x) et h(x)=1/2exp(x)
a). Démontrer que pour tout nombre réel x positif ou nul, h(x);)f(x)<g(x)
Je comprend pas pourquoi l'inégalité stricte entre f(x) et g(x) ???

Encore merci

Moi non plus je ne comprends pas car pour x=0 on a bien égalité.
f(0) = g(0) = 1/2

[Spaiky1]

Moi non plus je ne comprends pas car pour x=0 on a bien égalité.
f(0) = g(0) = 1/2

Non en fait c'est juste quand on prend la fonction f et g et qu'on regarde avec la calculette il n'y pas de point en commun. En fait c'est pas f(0)=g(0)=0,5 mais f(0)=h(0)=0,5 (vous vous êtes juste trompé de fonction)
Donc il y bien aucun point en commun entre f et g mais comment je peux le démontrer à travers l'inégalité ? il faut résoudre f(x)=g(x) et montrer qu'il n'y a pas de solution ?

[titine]

On sait que exp(-x) > 0 pour tout x
Donc exp(x) + exp(-x) > exp(x)
Donc 1/(exp(x) + exp(-x)) < 1/exp(x)

[Spaiky1]

On sait que exp(-x) > 0 pour tout x
Donc exp(x) + exp(-x) > exp(x)
Donc 1/(exp(x) + exp(-x)) < 1/exp(x)

Et pour démontrer h(x);) f(x) je peux chercher le signe de h(x)-f(x) ou bien il y a une méthode plus simple ?

[Spaiky1]

et aussi j'ai une dernière question qui me dit : Que peut-on en déduire pour les courbes Cf, Cg et Ch ?

J'ai répondu qu'on pouvait en déduire que Cf était au-dessus de Ch et strictement en-dessous de Cg
Donc que Cf était encadrée par Ch et Cg

Est-ce juste ?