Comparaison de la dichomitie et de la méthode de Newton-Rapson

[Coco0807]

Bonjour tout le monde

J'ai un DM à rendre pour jeudi prochain, et certaines questions me posent problème, alors je les publie ici pour obtenir de l'aide, merci d'avance à ceux qui me répondront.

Soit f la fonction définie par f(x)=x²-2 pour x appartient à [1;2] et Cf sa courbe représentative. L'équation f(x)=0 a pour unique solution alpha=2.

Principe de la méthode de Newton-Raphson:
- On part d'une première valeur approchée x0.
- On construit une suite (xn) de la façon suivante : pour n supérieur ou égal à 0, xn+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à Cf en son point d'abscisse xn.

Principe de la méthode de dichomitie:
- On part d'un intervalle [a0;b0] contenant .
- On construit deux suites an et bn.
pour n supérieur ou égal à 0, si f(an)*f((an+bn)/2) est inférieur à 0 alors an+1=an et bn+1=(an+bn)/2. Sinon, an+1=(an+bn)/2 et bn+1=bn.

- Justifier que la distance bn-alpha est divisée par 2 à chaque étape ( au moins ). Si bn est une valeur approchée de à 10-3 près, que peut-on dire de la distance entre bn+1 et alpha ?

- Justifier que pour tout n supérieur ou égal à 0 on a xn+1-=(xn-)²/2xn

Voilà les 2 questions qui me posent problème, je vous demande de me donner un piste pour commencer puisque tout ce que j'ai essayé jusque là n'a pas aboutit et était faux. Merci encore à ceux qui m'aideront.

[Fred_Sabonnères]

Je suppose que et non 2

Je ne connaissais pas la méthode Newton-Raphson.

L'équation de la tangente passant par est:



avec et

d'où

Or est l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses donc

[Coco0807]

Oui pardon, pour ce qui est d'alpha, c'est une erreur de ma part. Merci pour ta réponse, mais ce que tu viens d'écrire constitue la réponse à une question à laquelle j'ai déjà répondu précédemment, mais je comprend pas en quoi cela pourrais m'aider, pourrais-tu m'expliquer s'il te plaît ?