Probleme Proba et suite

[hagendorff]

Voila il y a un petit exercice sur lequel je bloque.

Juliette debute un jeu dans laquel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la premiere partie.

On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6 et si elle perd une partie, la probabilité qu'elle perde la partie suivante est de 0,7.
On note, pour n entier naturel non nul :
Gn l'evenement "juliette gagne la n-ieme partie",
Pn l'evenement "juliette perd la n-ieme partie":

Partie A
1)Determiner les probabilités P(G1), PG1(G2) et PP1(G2). En deduire P(G2)
2)Calculer P(P2)

Pratie B

On pose, pour n entier naturel non nul,
Xn=P(Gn) et Yn=P(Pn)

1)Determiner les probabilités:
P(Pn+1/Pn) et P(Gn+1/Gn)

2)Montrer que:
Xn+1 = 0,6Xn + 0,3Yn
Yn-1 = 0,4Xn + 0,7Yn

3)Pour n entier naturel non nul, on pose:
Vn=Xn+Yn et Wn=4Xn-3Yn
a)montrer que (Vn) est constante de terme general egale a 1
b)montrer que (Wn) est geometrique et exprimer Wn en fonction de n

4)a)deduire du 3), l'expression de Xn en fonction de n.
b)Montrer que la suite (Xn) converge et determiner sa limite.

Voila l'exercice, desolé s'il est un peu long. Mais j'ai deja reussi la parti A:
P(G1)=0,5 PG1(G2)=0,6 PP1(G2)=0,3 P(G2)=0,45
Et P(P2)=0,55
Si vous pouviez m'aider un peu pour cette exercice car là je bloque completement :triste: surtout Partie B question 1) et 2)

[mpo]

A1) P(G1)=P(P1)=0,5 P(G2|G1)=0,6 P(G2|P1)=1-P(P2|P1)=1-0,7=0,3

P(G2)=P(G2 et G1)+P(G2 et P1)=P(G2|G1)P(G1)+P(G2|P1)P(P1)=0,45
de meme P(P2)=0,55

B1) P(Pn+1|Pn)=0,7 et P(Gn+1|Gn)=0,6

B2) Xn+1=P(Gn+1)=P(Gn+1|Gn)P(Gn)+P(Gn+1|Pn)P(Pn)
=0,6*Xn + (1-P(Pn+1|Pn))*Yn
=0,6*Xn + (1-0,7)*Yn
=0,6*Xn + 0,3*Yn

Yn+1=P(Pn+1)=P(Pn+1|Gn)P(Gn)+P(Pn+1|Pn)P(Pn)
=(1-P(Gn+1|Gn))*Xn + 0,7*Yn
=0,4*Xn + 0,7*Yn

[hagendorff]

Merci mpo pour ta reponse, mais est ce que tu pourrais m'expliquer un peu la methode pour trouver P(Gn+1/Gn) et P(Pn+1/Pn)?
Ainsi que la maniere de l'expliquer stp.

[mpo]

B3a)

Vn+1= Xn+1 + Yn+1 = 0,6Xn + 0,3Yn + 0,4Xn + 0,7Yn = Xn + Yn = Vn
d'ou pour tout n, Vn=V1=X1+Y1=0,5+0,5=1

B3b)

Wn+1=4Xn+1 - 3Yn+1 = 4*(0,6Xn + 0,3Yn) - 3*(0,3Yn + 0,4Xn)
= 0,12*Xn - 0,09*Yn
= 0,03 (4Xn - 3Yn)
= 0,03 Wn
d'où Wn géometrique de raison 0,03 et Wn= (0,03)^n+1 * W1
avec W1=4X1 - 3Y1 = 0,5

[tize]

Salut Big Brother :we:
P(Gn+1/Gn) est la probabilité de gagner la n+1 eme partie sachant que l'on a gagné la nième et comme tu nous l'as dit :

si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6

pareille pour P(Pn+1/Pn)

[hagendorff]

Haa d'accord merci tize, c'était ca mon probleme (un de mes problemes en réalité :we: ) je ne conprenais pas trop a quoi correspondait P(Gn+1/Gn)

[mpo]

Voilà Tize t'as expliqué ....
l'énoncé donne la réponse .... on peut prendre pour exemple :
si on a gagné la 17e partie alors on a une probabilité de 0,6 de gagner la 18è

Tu as du penser "si on gagne la 1ere on gagne la suivante avec proba 0,6"
mais vu l'énoncé c'est plutot : on gagne une partie quelconque ....etc

[hagendorff]

Et bien merci pour vos reponses, c'est exactement ce que je cherchait, c'est d'ailleurs bizarre la vitesse a laquelle vous reussissez a finir des exos sur lesquels je passe des heures sans rien trouver :++:. allé @++, je vous recontact si j'ai besoin d'aide.