Exerice sur les suites - Terminale S

[clemklem]

Bonjour, je suis en plein DM de maths et j'ai quelques problèmes avec certaines questions. Là en l’occurrence avec la question 4. Je sais que ce sujet est déjà apparu sur le site mais malheureusement personne n'avait répondu au delà de la question qui me pose problème. Donc je retente. Voici l'énoncé:

On considère la suite de nombres réels (Un) définie sur N par :

U0 = -1 et U1 = 1/2 et, pour tout entier naturel n, Un+2 = Un+1 - (1/4)Un

1. Calculer U2 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. On définit la suite (Vn) en posant, pour tout entier naturel n :

Vn = Un+1 - (1/2)Un

a) Calculer V0
b) Exprimer Vn+1 en fonction de Un
c) En déduire que la suite (Un) est géométrique de raison 1/2
d) Exprimer (Vn) en fonction de n

3. On définit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n :

Wn = Un/Vn

a) Calculer W0
b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn + 1/2 Un, exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn
c) En déduire que pour tout n de N, Wn+1 = Wn+2
d) Exprimer Wn en fonction de n

4. Montrer que pour tout entier naturel n :

Un = (2n-1)/2^n

5. Pour tout entier naturel n, on pose :

Démontrer par récurrence que pour tout n de N, Sn = 2-(2n+3/2^n)

Voilà, donc j'ai déjà répondu aux questions 1, 2 et 3. Mais je reste désespérément coincée à la question 4. Je pensais procéder avec une hypothèse de récurrence mais (déjà j'ai un peu de mal avec ça en temps normal) mais en plus je reste bloquée peu de temps après l'avoir commencée. Ca donne ça:

Initialisation: U0= -1 et (2*0-1)/2*0= 0 . P(0) est donc vraie.
Hérédité: Un+1=(2(n+1)-1)/2^(n+1)=(2n-1+2)/2^n*2

Et voilà, je n'arrive pas à aller plus loin! Donc j'ai besoin de vous! Merci à celui/celle qui me répondra!

[XENSECP]

Non c'est direct la 4). Tu as déduis Vn en fonction de n et Wn en fonction de n donc : d'après la définition de Wn

[clemklem]

Ah d'accord! J'étais donc partie sur un chemin bien trop compliqué. Donc ça donne:
comme Wn= Un/Vn, nous pouvons en déduire que Un= Wn*Vn
Grace aux questions précédentes on peut écrire Wn et Vn en fonction de n ce qui donne:
Un = (-1+2n)*1/2^n = (2n-1)/2^n

C'est bien ça?

En revanche, après avoir fini cette question, je reste bloquée sur la 5. Je viens de relire l'énoncé que j'avais marqué et il manque une partie. La question entière est:

5. Pour tout entier naturel n, on pose pour tous les entiers naturels de k=0 à n :
Sn = Uk = U0 + U1 + ... + Un
(C'est compliqué d'écrire cette formule sur un traitement de texte. J'ai fait comme j'ai pu...)
Démontrer par récurrence que pour tout n de N, Sn = 2-(2n+3/2^n)

Et donc voilà ma progression:
Initialisation: Pour n=0, S0=-1, donc la propriété est vraie pour n=0.
Hérédité: S(n+1)=2-(2n+3)/2n

... Et je reste bloquée ici parce que si je développe ca ne donne rien de très convainquant... Et comme j'ai déjà du mal avec l'hérédité bah la je bloque totalement... D'autant plus que le 2^(n+1) au dénominateur me dérange beaucoup... Merci de bien vouloir m'aider!

[XENSECP]

Ah d'accord! J'étais donc partie sur un chemin bien trop compliqué. Donc ça donne:
comme Wn= Un/Vn, nous pouvons en déduire que Un= Wn*Vn
Grace aux questions précédentes on peut écrire Wn et Vn en fonction de n ce qui donne:
Un = (-1+2n)*1/2^n = (2n-1)/2^n

C'est bien ça?

En revanche, après avoir fini cette question, je reste bloquée sur la 5. Je viens de relire l'énoncé que j'avais marqué et il manque une partie. La question entière est:

5. Pour tout entier naturel n, on pose pour tous les entiers naturels de k=0 à n :
Sn = Uk = U0 + U1 + ... + Un
(C'est compliqué d'écrire cette formule sur un traitement de texte. J'ai fait comme j'ai pu...)
Démontrer par récurrence que pour tout n de N, Sn = 2-(2n+3/2^n)

Et donc voilà ma progression:
Initialisation: Pour n=0, S0=-1, donc la propriété est vraie pour n=0.
Hérédité: S(n+1)=2-(2n+3)/2n

... Et je reste bloquée ici parce que si je développe ca ne donne rien de très convainquant... Et comme j'ai déjà du mal avec l'hérédité bah la je bloque totalement... D'autant plus que le 2^(n+1) au dénominateur me dérange beaucoup... Merci de bien vouloir m'aider!

Hello,

Sn+1=Sn + Un+1 tout simplement

[clemklem]

D'accord mais si je fais ce que vous me dites, je n'utilise pas l'hypothèse de récurrence si?

[XENSECP]

D'accord mais si je fais ce que vous me dites, je n'utilise pas l'hypothèse de récurrence si?

Bah si justement: tu remplaces Sn par sa valeur dans l'hypothèse de récurrence

[clemklem]

D'accord, je vois mieux maintenant. Et après avoir remplacé Sn et U(n+1) on développe et en effet j'arrive bien au résultat demandé. (Bon l'hérédité ce n'est vraiment pas mon truc!) En tous cas merci beaucoup de votre aide! :D

[Titoune19]

Salut Clemklem !
Aurais-tu la correction de ce DM en entier stp parce que je comprend pas les premiere question et je les a faire pour demain !
si ta toute la correction, se serai sympas de la passer stp ??!!
merci